В этой статье вы узнаете:
Что такое дробная степень числа;
Связанные со степенями формулы и свойства;
Как возвести число в дробную степень;
Примеры возведения числа в дробную степень.
Возведение в дробную или рациональную степень числа называют записанное выражение в виде:
1. a — число, которое возводят в степень.
2. p и q — соответственно, числа в числителе и знаменателе рациональной степени, в которую возводят число «а». Причём:
2.1. Число «p» является любым целым числом как отрицательным, так и положительным.
2.2. Число «q» — любое натуральное число (1, 2, ….).
2.3. Вместо букв «p» и «q» могут встречаться и другие обозначения (например, m, n, k и т.д.).
Если перезаписать выражение, то получим:
Как видно из полученного выражения, число «а» возводят в степень «p», а затем извлекают из результата корень «q»-й степени. На практике это не так страшно, как звучит, главное не перепутать, что и куда из показателей «идёт», так как часто попадаются задания, где нужно упростить выражение с дробной степенью. Для решения таких задач так же потребуется вспомнить как ведут себя показатели степени при разных арифметических действиях над числами.
1. Перемножение чисел с одинаковыми основаниями, но разными степенями: степени складываются, а основание записывается один раз:
2. Деление таких чисел: показатели вычитаются (от первого второе) и число «а» записывается один раз:
3. Возведение числа со степенью в степень: степени перемножаются:
4. Возведение произведения чисел в степень:
5. Возведение дроби в степень:
6. Извлечения корня:
7. “Памятка” про сложение и вычитание чисел с одинаковым основанием, но разными степенями:
8. «Памятка+» про возведение чисел в нулевую степень:
Последние два выражения раскладываются по формулам сокращённого умножения. Эти пункты помогут вам правильно выполнять преобразования и не путаться при вычислениях.
Данный вид арифметических действий почти то же самое, что и было описано выше, только вместо букв (что является записью в общем виде) используются числа, позволяющие дать не «обобщенный ответ», а точное значение.
Можем рассмотреть несколько свойств степеней с числами. Большие числа брать не будем, чтобы не затруднять усвоение темы.
1. Перемножение чисел и возведение в степень:
2. Деление чисел с возведением в степень:
3. Возведение числа со степенью в степень:
4. Произведение чисел в степень:
5. Дробь в степень:
В качестве примеров возьмём пару выражений с буквами, которые нужно упростить, и несколько примеров с числами.
1) Упростить выражение:
Решение:
2) Упростить выражение:
Решение:
3) Переписать выражение, применив свойства показателей степени:
Решение:
4) Упростить и вычислить следующие выражения:
Решение:
В последнем примере более наглядно показано, что не всегда стоит сразу считать результат итоговый, так как потом может что-то удобно сократиться. Плюс ко всему такие темы помогают «видеть формулы» или выражения, которые можно преобразовать в то, что потом удобно сократить.