Из данной статьи вы узнаете:
1) Какие бывают формулы сокращённого умножения.
2) Где они могут применяться.
3) Примеры с использованием данных формул.
4) Выводы по теме, которые подведёте самостоятельно и примените в дальнейшем.
Формулы
Существует немалое количество формул. Сегодня вы познакомитесь лишь с частью из них: с теми, которые вам могут пригодиться прямо сейчас. Итак, вот некоторые из них:
1) Квадрат суммы двух чисел:
2) Квадрат разности двух чисел:
3) Разность квадратов двух чисел:
4) Разложение на множители квадратного трёхчлена:
(где
— корни квадратного уравнения
).
5) Разность кубов:
6) Куб разности:
7) Сумма кубов:
8) Куб суммы:
Формулы 5 — 8 обычно используются при обучении на курсах математики повышенной сложности и редко встречаются в заданиях.
Применение
Данные формулы в основном используют в заданиях и задачах, когда необходимо что-то упростить. Так-же с их помощью решаются некоторые уравнения и неравенства. Эти формулы могут упростить подсчёт в некоторых примерах.
Важно не забывать и про то, что это равенства. А равенства работают в две стороны. То есть можно как расписать что-то по формуле, так и обратно «сложить» в формулу.
Примеры
Рассмотрим примеры с данными формулами. В примерах будем брать как чисто буквенные записи, так и с числами выражения. Также рассмотрим пример, в котором необходимо будет что-то сократить, используя формулы сокращённого умножения. Следует обратить внимание при применении формул и на то, что под буквами а и b могут стоять не только числа или другие буквы, но и целые функции и выражения. Правила раскрытия скобок на них будут действовать одинаково, только что итоговое выражение может получиться не совсем маленьким и аккуратным.
1. Применяя формулы сокращенного умножения, раскрыть скобки:
А)
Решение:
В данном примере не наблюдается больших трудностей. Просто необходимо по примеру раскрывать скобки. Следующий пример решаем по такому же принципу.
Б)
Решение:
В)
Решение:
В данном примере важно правильно начать раскрывать формулу. В этом случае нужно возводить в квадрат не два числа, а число 4 и функцию 2х. В следующем примере присутствует одна функция и одно неизвестное число, но порядок действий не меняется.
Г)
Решение:
Так как а будет являться числом, то по правилу написания выражений оно будет ставиться перед неизвестной переменной х.
Д)
Решение:
Е)
Решение:
Данный пример осложняется наличием целой скобки, но у него есть два способа для упрощения. Рассмотрим второй:
2. Применяя формулы сокращённого умножения, преобразовать выражения и вычислить числовой результат:
А)
Решение:
Благодаря формулам сокращённого умножения можно считать и самые неудобные числа.
Б)
В данном примере необходимо сначала собрать формулу «куб суммы», чтобы затем применить её и упростить выражения для более удобного подсчёта. Для применения формулы нам необходимо будет добавить, а затем и отнять двухчлен
Решение:
После того, как максимально упростили выражение, можем подставлять числа:
Вывод
В целом, как видно из примеров, главное является умение «видеть формулу». Это приобретается спустя нарешивания примеров и уравнений с неравенствами. Также встречаются примеры, когда необходимо собрать в формулу какое-то выражение. И не всегда бывает так, что формула сразу готова к тому, чтобы её применили. Для этого надо будет что-то добавить, а затем и отнять сразу (чтобы знак равенства не потерял силу). Но об этом в следующих статьях.