Законы умножения

Переместительный закон умножения

Этот закон утверждает, что при изменении множителей местами их произведение не меняется, поэтому мы можем менять их местами, если нам это необходимо.

Для примера возьмём обычные снежинки, расположим их в квадратиках: 

3 · 5 = 5 · 3.

Как видим, количество снежинок не поменялось, поменялось только их отображение. Это значит, что данный закон умножения работает верно. То есть:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5.

Если переписать в общем виде для любых чисел, которыми мы считаем (натуральные числа), то получим выражение:

a · b = b · a — от перестановки множителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

Возьмём произведение любых трёх чисел. Например, пусть это будут числа 6, 5 и 2. Получим следующее выражение:

6 · 5 · 2.

Если мы возьмём в скобки любые выражения из двух цифр, то получим следующее:

6 · 5 · 2 = (6 · 5) · 2.

Скобки означают, что именно числа и действия в них надо выполнить в первую очередь:

6 · 5 · 2 = (6 · 5) · 2 = 30 · 2 = 60.

Также можно взять две любые цифры в скобки, то есть:

6 · 5 · 2 = (6 · 5) · 2

или

6 · 5 · 2 = 6 · (5 · 2).

Можем данный закон переписать снова в общем виде как выражение:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c) = (a · c) · b.

Распределительный закон умножения

В данном законе есть две вариации:

1.                Если нам надо умножить число на сумму какого-то количества чисел, то мы можем умножить каждое из чисел суммы отдельно на данный множитель, и далее можно будет сложить получившиеся произведения между собой, чтобы найти ответ.

2.                Когда нужно умножить сумму на число, то действия абсолютно точно такие же: перемножить множитель и числа из суммы и произведения сложить.

Получается, что эти пункты применимы для выражений следующего вида:

1)                k · (a + b + …) = k · a + k · b + … .

2)                (a + b + …) · l = a · l + b · l + … .

Опять же с помощью снежинок наглядно проверим, как действует этот закон.

(2 + 3) · 3 = 2 · 3 + 3 · 3.

Для выражения слева от знака равно:

В каждом из рядов первого прямоугольника находится по две синие и 3 зелёные снежинки. Причём таких рядов 3. Получаем, что в каждом ряду всего 2 + 3 = 5 снежинок. И всего снежинок 5 · 3 = 15.

Для выражения справа:

Синих снежинок по 2 в каждом ряду. Рядов всего 3. Соответственно, всего 2 · 3 = 6 синих снежинок. Зелёных же 3 в ряду и рядов 3. То есть всего 3 · 3 = 9 зелёных снежинок.

Всего синих и зелёных снежинок: 6 + 9 = 15. Значит, мы доказали правдивость закона и его выполнение.

То же самое будет работать и с вычитанием:

1)                k · (a – b – …) = k · a – k · b – … .

2)                (a – b – …) · l = a · l – b · l – … .

Во всех четырёх случаях мы выполняли операцию раскрытия скобок.