В гостях у Символа Нового Года

Уже заканчивается декабрь, а это значит, что на носу Новый год! Наверняка вы уже заметили, что все вокруг – магазины, парки и улицы – украшены изображениями драконов? Еще бы, ведь по китайскому календарю Зеленый Дракон – символ наступающего 2024 года!

Конечно, Дракон – мифическое существо не только в китайской культуре. В русских сказках тоже есть огнедышащий ящер, да не простой, а трехголовый. Должно быть, вы уже догадались: в преддверии долгожданных праздников мы отправляемся в гости к Змею Горынычу!

Дорога сквозь сугробы и метели была непростой – русские зимы всегда суровы! – но вот мы с вами наконец одолели последний перевал. Перед нами открывается огромная долина: сколько же здесь драконов! Все трехголовые, но разных цветов – красные, синие и зеленые. Пока они в воздухе, их даже трудно сосчитать – так быстро они мелькают перед глазами. Но смотрите – нас заметили! И вот уже драконы спускаются, усаживаясь в один большой круг: аж 2024 трехголовых легендарных ящера!

Разумеется, в такое далекое и опасное путешествие мы не могли бы отправиться без предварительной разведки. Что вам известно о Змее Горыныче? На самом деле, у летающих ящеров есть одна занимательная особенность (в лучших традициях математических задач!): каждая из трех голов всегда говорит либо правду, либо ложь, и у каждого Змея обязательно есть хотя бы одна правдивая голова. И теперь, когда вокруг нас сидят 2024 дракона, эта особенность нам обязательно пригодится.

Собравшись в круг, Драконы по традиции приветствуют своих соседей. У каждой головы есть своя собственная ритуальная фраза: первая голова произносит «Слева от меня сидит красный дракон», вторая приветствует соседа справа: «Справа от меня сидит синий дракон», а третья завершает приветствие фразой «Рядом со мной нет зеленого дракона». Традиции чужих стран – это всегда так занимательно! Как математики, мы не можем пройти мимо. Должно быть, Драконы специально сели в определенном порядке, но их так много, что мы видим далеко не всех. Как же в таких условиях посчитать, какое максимальное количество Зеленых Драконов – символов года – могло нас поприветствовать?

На первый взгляд, это очень непростая задача – ведь неизвестно, какие головы у каждого дракона окажутся правдивыми. Перебрать все варианты, конечно, не получится. Но давайте присмотримся повнимательнее. От нас требуется указать только наибольшее возможно число зеленых драконов. Можем ли мы сказать, что 2024 – это возможный максимум, и на этом умывать руки?

К сожалению, нет. Если мы ищем ВОЗМОЖНЫЙ максимум – нужно привести пример, на котором он достигается. Что получится, если мы посадим 2024 зеленых дракона в круг? Посмотрим на фразы одного из драконов: первая голова окажется лживой, так как слева находится не красный дракон, вторая – так как справа будет не синий, и третья тоже окажется заведомо не правдивой – ведь зеленые драконы рядом есть. Таким образом один из драконов остался без правдивой головы, а мы знаем, что такое невозможно. Получается, сесть подряд у зеленых драконов бы не получилось. Более того: в наших рассуждениях мы не использовали цвет дракона, чьи фразы рассматривали, значит, дракон любого цвета не может сидеть между двумя зелеными. Вот и первое найденное нами ограничение!

Так как мы ищем наибольшее число зеленых драконов, попробуем посадить их как можно плотнее – так как между ними не может сидеть один дракон, попробуем усадить двоих: синих или красных. Вот здесь вариантов уже не так много, и мы можем их перебрать:

Если между двумя зелеными ящерами окажутся двое красных драконов, то распределение их фраз на истину и ложь будет следующим:

Для левого красного дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — ложь
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — ложь
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — ложь

Такая ситуация невозможна, один из драконов опять остается без правдивой головы.

Если между двумя зелеными ящерами окажутся двое синих драконов, то для левого дракона окажется правдивой фраза про синего дракона справа. Однако для правого все опять не так радужно:

Для правого синего дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — ложь
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — ложь
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — ложь

Опять не получается!

Пусть теперь они будут разноцветными. Посмотрим на фразы синего дракона:

Для синего дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — ложь
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — ложь
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — ложь

Этот вариант тоже отметаем.

Остался последний способ рассадки. Что нам скажут драконы?

Для синего дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — Истина!
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — ложь
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — ложь

Для красного дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — ложь
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Истина!
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — ложь

Отлично, получилось!

Осталось выяснить, можем ли собирать цепочки из таких комбинаций. Спросим у зеленого дракона, оказавшегося посередине:

Для зеленого дракона:
1-я голова: «Слева от меня сидит красный дракон» — ложь
2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — ложь
3-я голова: «Рядом со мной нет зеленого дракона» — Истина!

Третья голова у ящера окажется правдивой. Кстати, так как отсутствие рядом зеленого дракона – единственная истина, мы не можем посадить между подобранными комбинациями, например, по два зеленых дракона, хоть рассмотренной выше ситуации «один дракон между зелеными» при этом и не возникнет.

Подведем итог: драконы могут садиться в круг комбинациями по 3: зеленый-красный-синий. Всего в круге 2024 дракона. 2022 из них мы можем усадить именно так: это число делится на 3. Какого цвета могут быть оставшиеся двое?

Однозначно не зеленого – мы рассмотрели это выше. Попробуем посадить еще одну пару красный-синий:

Для красного и синего драконов посередине истинной окажется фраза третьей головы – рядом с ними нет зеленых драконов. Для красного дракона слева права вторая голова – справа от него синий дракон, а для синего дракона справа права первая голова – слева от него красный дракон. Отлично, условие не нарушено!

Осталось посчитать, сколько же символов года будет при такой рассадке. 2022 дракона нужно поделить на 3 – в каждой тройке зеленый ящер только один: 2022 / 3 = 674. Задача решена, и мы вместе со всеми Зелеными Драконами поздравляем вас с Наступающим Новым годом!