Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
Биквадратные уравнения
Для нахождения корней и, собственно, решения подобных уравнений нужно будет воспользоваться способом замены переменной, то есть заменить одну неизвестную переменную на другую.
В нашем случае мы заменим не просто букву x, а x2 на любую другую букву*. Например, заменим на букву t и тогда у нас получится квадратное уравнение, которое будет проще решать:
± at2 ± bt ± с = 0
*в качестве буквы, на которую будем заменять x2, можно использовать любые буквы, кроме тех, которые уже были использованы в уравнении. Таким образом мы не сможем заменить x2 на x. Плюс, если уравнение будет дано в общем виде (например, ax4 + bx2 + с = 0), то для замены нельзя будет использовать буквы a, b и c.
После замены сразу следует задать условие, которое должно выполняться. А именно, что переменная, на которую мы заменили x2 должна быть неотрицательна. То есть для буквы t мы зададим условия t ≥ 0. Это важно, чтобы в дальнейшем не ошибиться с ответом.
Затем получившееся квадратное уравнение можно решать как обычное квадратное и, найдя его корни, исключить лишние и произвести обратную замену.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Нужно решить уравнение:
x4 - 26x2 + 25 = 0
Для его решения нужно заменить x2 на другую букву. Заменим на t и получим новое уже квадратное уравнение:
t2 - 26t + 25 = 0, причем t ≥ 0
Дальше находим дискриминант нового уравнения:
D = b2 - 4ac = (-26)2 - 4 · 1 · 25 = 676 - 100 = 576
D > 0, а значение имеет корни.
Найдём корни уравнения:
Оба корня получились неотрицательны, а значит они оба подходят для обратной подстановки:
x1,2 2 = 25 и x3,4 2 = 1.
Извлечём корни из обеих частей уравнений поменьше:
*При извлечении корня из четных степеней переменных появляется модуль и это важно, так как могут иногда засчитать за ошибку, если не написать его и не раскрыть правильно. Соответственно и ответ можно получить не полный.
Раскрываем модуль и затем можно писать ответ:
x1,2 = ± 5 и x3,4 = ± 1.
В ответ пойдут все найденные нами в ходе решения числа.
Ответ: -5, -1, 1, 5.
2. Нужно решить уравнение:
x4 - x2 – 6 = 0
Для его решения нужно опять заменить x2 на другую букву. Заменим на этот раз на букву m и получим новое уже квадратное уравнение:
m2 – m - 6 = 0, причём m ≥ 0.
Дальше опять находим дискриминант нового уравнения:
D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 · 1 · (-6) = 1 + 24= 25
D > 0, а значение уравнение имеет корни.
Находим корни:
Один корень (m2 = -2) получился меньше 0, значит мы исключаем его и возьмём оставшийся (m1 = 3):
x1,22 = 3.
Извлечём корни из обеих частей уравнений поменьше:
Раскрываем модуль и затем можно писать ответ. Так как из тройки корень «целиком» не извлекается, то так и оставляем:
В ответ пойдут все найденные нами в ходе решения числа.
Ответ: 