Дробно-рациональные неравенства: примеры решения

В этом уроке вы узнаете:

1.    Что такое дробно-рациональные неравенства.

2.    Как их решать.

3.    Примеры.

Описание

Дробно-рациональные неравенства — это неравенства, в которых есть дроби. В то время как 9 класс только начинает с ними разбираться, 10 класс уже активно их повторяет и решает более сложные задачи с ними. В этом всё просто. Но тут есть большая ловушка. Как вы можете помнить, знаменатель дроби не должен равняться нулю, а значит, для корней будут дополнительные ограничения.

Поэтому для решения таких неравенств необходимо знать ограничения основных функций алгебры и тригонометрии плюс знать «метод интервалов», который постоянно используется для нахождения ответа.

Метод решения

Чтобы всё сразу было наглядно, возьмём простой пример.

Итак, необходимо решить следующее дробно-рациональное неравенство:

Сразу для этого неравенства смотрим на функции в числителях и знаменателях и их ограничениях:

1) В числителях ограничений не будет, так как функции f(x) = 4-x и f(x) = 1 являются прямыми, а у прямых нет ограничений ни по оси ОХ, ни по оси OY.

2) Подробно остановимся на знаменателях.

   2.1) f(x) = x-5 — прямая, но так как она находится в знаменателе, то будет ограничена следующим образом:

   2.2) — прямая, но так как она находится в знаменателе, то будет ограничена так же, как и предыдущая:

Откуда

Теперь мы можем начать решать наше неравенство, и когда найдём решение, то после применим ограничение по корням:

Для начала перенесём справа всё в левую часть:

Напоминаю, что знак неравенства не меняется (не переворачивается на 180 градусов), если мы просто переносим слагаемое из одной части в другую.

Приравнивая числитель к нулю, решаем уравнение:

получим  корень 

В нашем неравенстве условие было «больше или равно», так что нам надо узнать, на каких промежутках наша функция будет принимать положительные значения (f(x) > 0 ). Для этого необходимо выбрать любое число на прямой между теми значениями, что уже нанесены на прямую, и подставить в функцию.

Возьмём x = 6.

Причём, так как нам надо знать только знак («+» или «-») функции, то и вычислять досконально не требуется. В нашем случае на промежутке от числа 5 до бесконечности функция принимает отрицательные значения. Дальше, чередуя плюс и минус, заполняем все четыре интервала. При расстановке знаков учитываем, что линейный множитель  стоит в чётной степени. В этом случае при переходе через точку 3 знак не меняется. Теперь с помощью метода интервалов расставляем корни на числовой прямой, также не забывая и про «ограничения»:

Точки, которые не должны попасть в ответ, иначе ответ будет неверным, на числовой прямой выколоты (незакрашенная точка). А корни, которые были получены из числителя, будут закрашены главным образом потому, что неравенство было нестрогое (то есть присутствует знак «больше или равно» или «меньше или равно»).

Итак, ищем знаки «+» и выписываем слева направо эти интервалы в ответ. Причём какой бы ни был знак в условии неравенства (строгий или нет), у знака «бесконечность» скобка будет всегда круглая.

Ответ: 

По итогам урока мы имеем следующее:

1) Важным навыком при нахождении ответа будет умение искать область определения выражения и каждого из частей выражения в отдельности (слагаемые, множители, функции в числителе/-ях и знаменателе/-ях).

2) Метод интервалов является основой для решения данного типа неравенств, так что необходимо хорошо его изучить для правильного применения и избежания ошибок.

3) Также стоит обратить внимание и на знаки в неравенствах (плюсы, минусы, знаки «больше, «больше или равно», «меньше», «меньше или равно»). От их правильного использования и учитывания моментов, из-за которых они могут поменяться на противоположные, зависит, правильно ли вы сможете решить неравенство и написать ответ.

4) Умение находить корни уравнений (как уравнений первой степени, так и высших) имеет не последнее значение. К этому добавляется необходимость знать формулы сокращённого умножения.