Неполные квадратные уравнения

В этой статье вы узнаете:

1.      Что такое неполные квадратные уравнения.

2.      Связанные с данным видом уравнений формулы.

3.      Как правильно решать неполные квадратные уравнения (на подробных примерах).

Что это такое простыми словами?

Для начала вспомним про полное квадратное уравнение. Это уравнение, в котором высшей степенью при неизвестной переменной является число два. Оно имеет вид:

где a, b, c — некоторые числа и обязательно a ≠ 0.

Итак, неполным квадратным уравнением будет называться квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен нулю. Напоминаю, что, когда коэффициент а равен нулю, то уравнение перестаёт являться квадратным.

Рассмотрим несколько видов таких уравнений:

1.     Когда коэффициент b = 0. В уравнении будет отсутствовать второе слагаемое и уравнение примет следующий вид:

2.    При отсутствии коэффициента с (с = 0) в уравнении не будет третьего слагаемого и оно будет выглядеть следующим образом:

Формулы для нахождения корней

Для неполных квадратных уравнений также можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b² - 4ac. Тогда для разных случаев мы получим лишь немногим отличающиеся выражения.

Здесь важно будет учесть то, что при «сокращении» действий «возведение в квадрат» и «извлечение квадратного корня» остаётся модуль.

Как видно из полученных формул, при отсутствии какого-либо из коэффициентов (кроме а) решение квадратного уравнения требует меньше усилий. Но, если кому-то не хочется решать через дискриминант, можно воспользоваться другим способом — непосредственным выражением икса из уравнения. Разберём этот способ для двух вариаций.

1) Для b = 0:

Перенесём с в правую часть:

(Так-же вспомним, что при переносе слагаемого за знак равенства, знак слагаемого поменяется на противоположный):

Теперь осталось извлечь корень, и у нас будет два решения уравнения:

Здесь сначала стоит вынести х за скобки:

Затем надо разбить на два уравнения:

Как видно, первый корень у нас сразу имеется, осталось найти второй. Для этого надо аналогично действиям выше перенести коэффициент b вправо с противоположным знаком и затем разделить на а:

Решение неполных квадратных уравнений не занимает много времени. Но главное не запутаться в знаках и что куда необходимо переносить. Для этого надо побольше практиковаться в решении уравнений, чем сейчас и займёмся.

Примеры как решать

Возьмём несколько примеров для закрепления и попробуем их решить двумя способами. Первым будет пример при отсутствующем коэффициенте b (b = 0).

1.1) 

Для начала распишем коэффициенты уравнения: a = -1; b = 0; c = 25.

Решим дискриминант через формулу, которую вывели для b = 0:

Значит, уравнение имеет два корня (про проверку тоже не стоит забывать).

Найдём корни с помощью выведенной формулы:

откуда корнями будут являться числа -5 и 5.

1.2) Теперь решим вторым способом.

(В данном случае, так как число 25 не является неизвестной переменной и неотрицательно, то модуль ставить не нужно).

Ответы сошлись. Значит в ответ пойдут два числа: -5; 5.

Второе уравнение возьмём так-же с маленькими числами и при с = 0.

2.1) 

Как и в предыдущем примере, распишем коэффициенты уравнения: a = 2; b = -4; c = 0.

Применим формулу дискриминанта для нашего случая:

В данном случае, так как в формуле дискриминанта используется только квадрат числа (), то и проверка, в принципе, не нужна, потому что при возведении в чётную степень любое число становится положительным. Теперь найдём корни:

Получились корни 0 и 2.

Ответ: 0; 2.

Сейчас воспользуемся вторым способом.

2.2) 

Сначала вынесем х за скобки:

Затем разобьём на два уравнения:

Первый корень сразу нашёлся — это число 0. Найдём второй:

Второй корень нашли и можно записывать ответ.

Ответ: 0; 2.