Уравнения и неравенства с модулем 10 класс

В этой статье вы узнаете:

1.      Как решаются примеры.

2.      Какие проблемы могут возникать при их решении.

Примеры

Это будет больше практическое занятие. Поэтому сразу начнём с примера попроще. Рассмотрим сначала уравнение.

1)Необходимо решить уравнение:

Для начала стоит отметить, что знак модуля возвращает «абсолютное значение» числа, то есть само значение (и убирая знак минус, если по-простому, оставляя только плюс). Если короче, то:

Смысл модуля — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным числом.

Поэтому, убирая модуль, мы точно не можем узнать, какое число было под его знаком: — отрицательное или положительное. Нам необходимо учесть все возможные варианты. Поэтому, раскрывая знак модуля, распишем наше уравнение на два:

Теперь нам нужно решить два уравнения. В двух уравнениях оставляем переменную слева от знака равенства и все числа перенесём вправо:

В итоге получаем ответ, в который пойдут два числа, найденных нами:

Ответ: 1; 3.

Теперь рассмотрим примеры с неравенствами. Тут начинается сложность в раскрытии знака модуля. Для упрощения возьмём то же уравнение, но перепишем его, поменяв знак равенства сначала на знак больше, а в третьем примере на знак меньше.

2) Решите неравенство:

Здесь модуль не просто уберётся, он будет раскрыт по-другому:

Если это очень сложно для понимания, то для начала стоит просто это попытаться запомнить. Со временем всё станет понятно, и вы сможете с лёгкостью решать эти виды неравенств.

Данная запись значит, что центральное выражение меньше, чем -1, но больше, чем 1. Решается оно аналогично.

Итак, у нас фактически уже есть ответ. А именно ответом в данном случае будут все числа, которые меньше 1 и больше 3. Причём следует отметить, что так как неравенство нестрогое, то и числа 1 и 3 также будут входить в решение неравенства и скобки будут квадратные. Перезапишем неравенство через промежутки:

Не забываем про то, что слева от 1 стоит число, а справа от 3 — и у знаков бесконечности ставятся только круглые скобки.

Ответ: 

3) Найдите «x»:

Для лучшего освоения темы возьмём нестрогое неравенство. Это значит, что числа, которые мы получим в ответ, будут входить в решение неравенства.

Данный вид неравенства будет также раскрываться по-другому. А именно:

Причём неравенство выше можно также записать как 

Данная запись значит, что центральное выражение больше, чем -1, но меньше, чем 1. Решается оно аналогично. Для того, чтобы неизвестная переменная осталась в центре, нам нужно будет прибавить двойку в каждой из частей уравнений.

Итак, у нас фактически уже и есть ответ. А именно ответом в данном случае будут все числа, которые находятся между 1 и 3. Перезапишем неравенство через промежуток:

Следует напомнить, что по условию неравенство не строгое, так что и скобки будут круглыми. Это означает, что числа 1 и 3 не будут входить в само решение.

Ответ: (1;3).

Рассмотрим более сложное уравнение с модулем. Необходимо найти все значения параметра а, при которых следующее уравнение имеет ровно четыре корня:

Преобразуем уравнение, заменив модуль на какую-то переменную. Например, на переменную t: 

Тут очень важно указать, что новая переменная должна быть неотрицательна, иначе мы решим уравнение неверно и возьмём неправильные корни, которые не подойдут под смысл задачи.

Рассмотрим внимательнее получившееся квадратное уравнение. У любого уравнения второй степени имеется два корня, если уравнение решаемо. Когда мы найдём корни, надо будет поочередно подставить их под знак модуля и получить ответ. То есть у нас будут 4 искомых корня.

Решение осложняется тем, что у нас есть неизвестный параметр a, значение которого нам необходимо найти, чтобы и получилось четыре корня. Теперь опять вернёмся к нашей замене. Мы указали обязательное требование, что t не должно быть отрицательным числом. Это значит, что и два корня нашего нового уравнения также не должны быть отрицательными числами и не нулём (иначе будет не четыре корня, а три максимум), а именно:

Наше уравнение — это парабола. Причём мы не знаем, ветви её направлены вниз или вверх. Будем проверять. Зададим условия, которые должны выполняться одновременно, если ветви параболы направлены вниз:

a < 0 (так как ветви направлены вниз); D > 0 (дискриминант всегда должен быть больше нуля, чтобы у нас получилось два корня) (вершина новой параболы) и f(0) < 0.

Зададим условия, которые должны выполняться одновременно, если ветви параболы направлены вверх:

a > 0 (так как ветви направлены вверх); 

Теперь попробуем рассчитать квадратное уравнение подробнее:

причём это будет выполняться всегда.

Значит, первый случай, когда ветви параболы направлены вниз, мы рассматривать не будем, так как не выполняются все условия (а именно f(0)<0).

Перепишем условия для параболы с ветвями вверх, учитывая рассчитанные нами значения:

Получаем промежуток значений для параметра а от 0 до 0,5. И так как нам не надо искать сами корни по условию, то в ответ идут только значения параметра а.

Ответ: исходное уравнение имеет четыре корня при 

Какие проблемы могут возникать при их решении

1) Для начала это само условие задачи:

              1.1) Можно его не так прочитать и полностью отклониться от правильного решения уравнения или неравенства.

              1.2) Неправильно прочитав или не дочитав условие задачи, есть вероятность, что вы не дадите ответ на поставленный в условии вопрос и/или дадите не полный ответ.

2) Затем вид уравнения/неравенства:

              2.1) В самых простых уравнениях с модулем сложно запутаться, как правильно раскрывается знак модуля. Тем не менее даже это можно забыть. Нужно регулярно повторять пройденные темы, чтобы в дальнейшем не останавливаться на этом и не терять много времени на исправление ошибок.

              2.2) В неравенствах модуль раскрывается несколькими способами, тут также важно не запутаться плюс может понадобиться и метод интервалов для нахождения ответа.

              2.3) В сложных неравенствах, например того, что мы рассмотрели последним, могут встретиться необычные условия. Поэтому надо убедиться, что вы поняли его правильно и затем только думать о способе, которым вы будете решать.

3) И само по себе разумеющееся — неправильный подсчёт. С большими и сложными заданиями легко запутаться даже в маленьких числах. Поэтому стоит решать медленно и вдумчиво, и в конце перепроверить себя.