100 друзей

Вы, конечно, слышали поговорку «Не имей ста рублей, а имей сто друзей»? Как думаете, подойдут друзья по переписке в социальных сетях, или все же речь идет о тех товарищах, с которыми вы постоянно общаетесь вживую?

Как бы то ни было, Пете и Васе повезло: в их компании целая сотня друзей! Когда-то они все вместе учились, но потом судьба разбросала их по необъятным просторам России, и теперь они живут в нескольких городах.

Друзья некоторое время не общались. Знаете, как это бывает: вы уже не встречаетесь случайно на улице, события в вашей жизни уже не пересекаются, и постепенно становится просто не о чем говорить. Но если даже в заброшенной переписке появится «Приезжай», настоящий друг сорвется на помощь без раздумий, не так?
К счастью, в нашей истории повод был радостный: Петя планировал отмечать юбилей с размахом, и пригласил к себе всех товарищей с учебы. Кому-то позвонил, кому-то написал в социальных сетях – и вот уже 99 друзей спешат к нему из разных городов.

В ожидании Петя задумался: какое расстояние придется преодолеть его друзьям, чтобы попасть к нему на праздник? Он взял старую бумажную карту и отметил на ней точками все города, из которых ожидались гости, а затем сложил расстояния от них до своего города. На 99 друзей в сумме оказалось всего 1000 км – на самом деле, очень немного! Надо собираться чаще, решил Петя.

Празднование юбилея прошло отлично – было очень здорово собраться всем вместе после общения только онлайн. Следующим свой юбилей отмечает Вася, и он горячо поддержал идею собраться тем же составом. Петя поделился с ним своими расчетами, и Вася задумался: а какое максимальное расстояние в сумме может получиться у него? Подскажем?

Друзья у Пети и Васи одни и те же, и сумма расстояний от всех до Пети равна 1000 км. Давайте обозначим город какого-нибудь их друга точкой Х, город Пети – П, а город Васи – В. Три точки – ничего не напоминает? Да еще и расстояния – это точно правило треугольника!

Для какой стороны будем записывать? Так как мы считаем сумму расстояний от всех друзей до Васи, логично будет взять расстояние ВХ: ВХ ≤ ПХ + ПВ. Можем ли мы оценить эту сумму сверху? Единственное известное нам число – 1000 км, сумма расстояний от всех до Пети, и эта сумма включает в себя эти два слагаемых из неравенства. Получаем оценку сверху и для расстояния от Васи до любого общего друга – он не может быть больше 1000 км.

Разумеется, это очень «грубая» оценка. Можем ли мы выяснить, достигается ли она на самом деле? Попробуем привести пример. Расстояние до каждого друга от Васи должно быть равно 1000 км, а сумма расстояний до Пети – всего 1000 км, из которых 1000 км, получается, должно быть до Васи. Следовательно, все остальные живут с Петей в одном городе, и до Васи расстояние от каждого из них одинаковое – тоже 1000 км. В сумме на 99 друзей получится 99 000 км – уже гораздо больше.

Что ж, стоит помнить, что мы нашли только возможный максимум – будем надеяться, что в реальной ситуации друзьям до Васи гораздо ближе.