Такси, гении и нескучные совпадения

Такси, гении и нескучные совпадения

Здравствуйте!

Годфри Харди Математику, чтобы не скучать, достаточно собственного мозга — и писчих принадлежностей, чтобы записать выкладки, но и это не обязательно.

Представьте себе. Приезжает как-то Годфри Харди навестить Сринивасу Рамануджана в больницу и замечает:

— Знаешь, Рамануджан, только между нами математиками, но у моего кэба был невероятно скучный номер: 1729.

Рамануджан, даром что лежал больной, немедленно возразил.

— Ну как же, Харди, да ведь этот номер очень интересный; это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами!

1729 = 13+123=93+103.

Но первым открыл это свойство числа 1729 француз Бернар Френикль де Бесси (1605—1675) за 250 с лишним лет до Рамануджана с Харди, в 1657 году. Однако Рамануджан всё-таки был гений, а Харди был замечательный пиарщик. Так что с тех пор, как Харди написал про этот диалог в «Апологии математика» (1940 г.), 1729 называют числом Харди-Рамануджана. Что до Френикля де Бесси, то основной корпус статей француза — вот так совпадение — был опубликован аккурат в 1729 году в V томе «Записок Королевской академии наук». Тогда же вышло отдельное издание «Математические труды Френикля де Бесси».


Taxicab(n), «число такси», — это наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы двух положительных кубов n разными способами. Наименьшее среди всех чисел такси — 2, оно же Taxicab1=13+13. Второе число такси — это упомянутое 1729. Сегодня известны числа такси только до Taxicab6.
Taxicab3=87539319=1673+4363=2283+4233=2553+4143
Taxicab4=6963472309248=24213+190833=54363+189483=102003+180723=133223+166303
Taxicab5=48988659276962496=387873+3657573=1078393+3627533=2052923+3429523=2214243+3365883=2315183+3319543
Taxicab6=24153319581254312065344=5821623+289062063=30641733+288948033=85192813+286574873=162180683+270932083=174924963+265904523=182899223+262243663

Через 19 лет после памятного разговора, в тысяча девятьсот тридцать восьмом, Харди вместе с Эдвардом Райтом доказали, что числа, раскладывающиеся в сумму двух кубов n разными способами, существует для всех целых n. Только их теорема никак не помогает отыскивать минимальные числа, удовлетворяющие этому условию. Так что их ищут «в лоб», перебором на компьютере. В частности, Дэвид У. Уилсон нашел значение Taxicab5 и предложил значение для Taxicab6=8230545258248091551205888, пока в 2003 году Кристиан Калюде с соавторами не показал, что Taxicab(6) скорее всего на 2 порядка меньше. В 2008 Уве Холлербах доказал, что, действительно, Taxicab6=24153319581254312065344

Математики вообще опровергают существование скучных чисел. Для этого они придумали теорему об отсутствии неинтересных чисел.
Теорема. Нет неинтересных натуральных чисел.
Доказательство. Предположим противное: среди натуральных существует непустое подмножество неинтересных чисел. В любом непустом подмножестве натуральных чисел найдется число, меньшее всех остальных. А это уже делает его интересным. Получили противоречие. Теорема доказана.
Сможете доказать, что среди всех целых чисел (− ;) нет ни одного неинтересного?