Али-Баба и два конверта

Иногда так случается, что решение задачи, которое подсказывает нам «здравый смысл», неверно с точки аксиом и теорем Теории вероятностей – многие факты этой науки интуитивно непонятны. Неудивительно, что на долю Теории вероятностей приходится немалое количество математических парадоксов. Однако случается и такое, что на протяжении десятилетий математики спорят даже о применимости понятия вероятности для данной задачи! Таким «камнем преткновения» стала и широко известная задача о двух конвертах.

Итоговую формулировку задачи предложил Барри Нейлбафф. В своей статье математик предполагает, что имеются два неразличимых конверта с деньгами – вот только сумма в одном из них ровно в два раза больше, чем в другом. Случайно выбранный конверт вручают человеку по имени Али, а оставшийся – Бабе. Любопытно, что, несмотря на сходство с известной сказкой, в этой задаче Али и Баба – два разных человека. Так в чем же заключается парадокс? Дело в том, что и Али, и Баба не знают, конверт с какой суммой достался другому. Кому из них выгодно поменяться конвертами с товарищем?

На месте, например, Али логично предположить, что с равными вероятностями 1/2 ему мог достаться конверт с меньшей или большей суммой Х, а значит, с такими же вероятностями 1/2 в конверте Бабы будет находиться сумма Х/2 или 2Х. Давайте посчитаем математическое ожидание того, что получит Али в результате обмена конвертами: 1/2 * (Х/2) + 1/2 * (2Х) = 5/4 Х. Полученное значение превышает сумму, которая была в конверте Али изначально. Получается, что обмен конвертами «в среднем» выгоден Али?

К сожалению, не все так просто. Вспомним, что Баба находится в точно такой же ситуации и может провести абсолютно аналогичные рассуждения. Именно здесь и кроется парадокс: при обмене конвертами в среднем сумма денег становится больше у обоих друзей. Мы не можем нарушать непреложные законы математики, а значит, где-то в наших рассуждениях оказалась ошибка.

Бельгийский математик Морис Крайчик считал, что в данной ситуации разумным будет не пытаться оценивать вероятность, ведь она может зависеть от знания условий задачи. Тем не менее, ответ на вопрос «Где скрывалась ошибка?» им так и не был найден. Сам автор точной формулировки задачи счел удовлетворительным объяснением этого парадокса решение американского профессора Сэнди Забелла.

Забелл считал, что и Али, и Баба ошибочно полагают, что вероятность большей или меньшей суммы в их конверте не зависит от значения этой суммы и всегда равна 1/2. Обозначим функцией F(X) вероятность того, что в конверте Али окажется сумма, равная ровно Х. Так как изначально два конверта никому не принадлежат, то точно такой же функцией характеризуется сумма в конверте Бабы. Но предположения друзей позволяют нам определить эту функцию достаточно точно: для любой суммы Х > 0 в конверте Али считаются равными F(X/2) и F(2X). Равенство данных значений для любого положительного Х возможно только в том случае, если функция представляет собой константу на всей положительной полуоси. Это предположение абсолютно неправомерно! Для любой ненулевой константы интеграл данной функции будет иметь бесконечное значение, что невозможно для вероятности, а в противном случае будет равен нулю, что также запрещается определением. Изначальное предположение Али и Бабы о равенстве вероятностей «выигрыша» и «проигрыша» при обмене оказалось неверным. Так была разрешена знаменитая Проблема двух конвертов.