Бесконечность и малярная краска

Когда-то давно, еще в начальной школе, математика была простой и прозрачной наукой: вычисляемые выражения состояли только из чисел и арифметических операций. Уже позднее, на уроках алгебры, в выражениях внезапно появились буквы – переменные, константы и неизвестные. Но математики на этом не остановились, и пошли еще дальше, сделав объектом своих исследований… бесконечность! Именно из-за неопределенности этого понятия возникают на первый взгляд неразрешимые противоречия.

К числу таких логических несостыковок относится и так называемый Парадокс маляра. Предлагаем вам отставить на время в сторону высшую математику, и подойти к задаче исключительно с практической стороны: попробуйте покрасить пластину бесконечной площади конечным количеством краски!

Строго задача звучит так: дана тонкая пластина, состоящая из бесконечного числа частей, каждая из которых имеет вид прямоугольника. Первый прямоугольник – квадрат со стороной 1 см, и у каждого последующего звена длина в два раза больше, а ширина – в два раза меньше, чем у предыдущего. Получается, что площадь такой пластины равна 1 + (2 * ½) + (4 * ¼) + … = 1 + 1 + 1 + … и действительно бесконечна! Весь опыт малярного дела говорит нам о том, что и краски потребуется не меньше, но для математиков нет ничего невозможного, не так ли?

Давайте попробуем вывести задачу за пределы плоскости. На рисунке выше изображено бесконечное тело, получаемое при вращении пластины вокруг её прямого бесконечного края: оно состоит из цилиндров с высотами 1, 2, 4, … см и, соответственно, радиусами 1, ½, ¼, …см. Получим, что объем k-того цилиндра равен   

 , 

а суммарный объем всей фигуры – это сумма убывающей геометрической прогрессии:

Оказывается, бесконечную фигуру можно наполнить всего миллилитрами краски! А теперь вернемся к нашей пластине: она тонкая, а потому прекрасно поместится в объемной фигуре. Наполним сосуд краской и поместим в него пластину: она окажется окрашена с двух сторон. Размышляя над одной задачей, мы пришли к двум взаимоисключающим выводам, а значит, где-то в цепочке наших утверждений спряталась неточность. Что ж, самое время найти парадоксу объяснение!

На самом деле абсолютно справедливое утверждение, что для покраски фигуры бесконечной плоскости потребуется бесконечное количество краски, опирается на предположение, что вся фигура будет покрыта слоем краски одинаковой конечной толщины. В то же время выбранный нами способ покраски предполагает, что с каждым цилиндром этот слой будет становиться все меньше до тех пор, пока диаметр очередного звена сосуда не станет меньше размеров молекулы – в эту часть фигуры краска просто не затечёт.

Несмотря на свою парадоксальность с физической точки зрения, такое решение задачи окрашивания оказывается математически верным. Строго говоря, площадь и объем – это разные величины с разными «бесконечностями», и поэтому в математических моделях возможны фигуры, имеющие бесконечную площадь при конечном объёме или бесконечную длину при конечной площади.