Быть, а не казаться

Здравствуйте!

Мнимые числа мнимые, курица – не динозавр… Эти и другие дремучие заблуждения преследуют людей. Многие доживают с ними до старости — но не вы. Потому что мы развеем их в сегодняшнем выпуске.
Возьмите ручку и клочок бумаги. Напишите на нем 2 + 1=3. Теперь посмотрите на свои руки. Вы только что выполнили и записали этими самыми руками операцию сложения двух мнимых комплексных чисел. Которые на самом деле не более мнимые, чем все остальные числа и прочие математические объекты.

Комплексные числа имеют вид z=a+ib, где a и b — действительные числа, а i называется «мнимой единицей» и представляет собой число, квадрат которого равен −1: i² = −1 «Комплексные» они от слова complex — «составной». Смысл в том, что если множество действительных чисел представляется числовой прямой, то множество комплексных чисел — это множество точек плоскости. Если на комплексную плоскость наложить декартову систему координат, которая есть две перекрещенные под прямым углом числовые прямые, то каждой точке плоскости можно сопоставить пару чисел с координатами (a, b), где a — действительная часть комплексного числа Re(z), а b — мнимая Im(z). Re(z) откладывается по оси абсцисс, а Im(z) — по оси ординат. Действительные числа тогда оказываются подмножеством комплексных, у которых мнимая часть, т.е. ib, равна нулю, то есть они лежат на оси абсцисс. На ту же плоскость можно наложить и полярную систему координат. В ней координатами являются угол φ между радиус-вектором к точке и положительным направлением оси абсцисс и длина этого радиус-вектора r —то же самое, что модуль комплексного числа r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}. И если центры декартовой и полярной систем совместить, то одно и то же комплексное число можно записать как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.

Угол φ также называют аргументом комплексного числа Arg(z). Очевидно, что если к такому-то углу прибавить сколько угодно раз по 2π радиан или по 360°, то точка, изображающая комплексное число, перейдет сама в себя. Поэтому математики условились, что у комплексного числа будет главный аргумент, arg(z), (да, почему-то с маленькой буквы) лежащий в пределах (−π ;π]. Эту периодичность комплексных чисел всегда надо иметь в виду при выводе выражений с их участием. И комплексные числа нельзя сравнивать друг с другом, для них понятия «больше» и «меньше» не имеют смысла.

Надо понимать, что функция комплексного переменного — совсем не то же, что функция двух действительных переменных. Для того, чтобы просто изобразить её значения, требуется задать вторую комплексную плоскость. Значения комплексной переменной берутся из первой плоскости, а значения функции от этой переменной откладывается на второй.

Функции комплексного переменного зачастую многозначные на всей или почти на всей своей области определения.

Наконец, формула Эйлера позволяет записать комплексное число в экспоненциальной форме: $$z=a+ib=r\cos \phi +ir\sin \phi =r{e}^{i\phi }$$

Так комплексные числа одним махом связывают друг с другом алгебру, геометрию и математический анализ. В принципе, одной этой формулы уже достаточно, чтобы вывести несколько диковинных фактов из мира комплексных чисел.

Пример. Квадратный корень из i

С квадратом мнимой единицы всё ясно. А вот так из нее извлекается квадратный корень.

1. Предположим, что корень из i — некоторое комплексное число a+ib. Нам нужно найти эти a и b:
   
   \sqrt{i}=a+ib
   Возводим обе части уравнения в квадрат:
   {\left(\sqrt{i}\right)}^2={\left(a+ib\right)}^2
   i=a^2+2i\cdot ab+{\left(i\right)}^2\cdot b^2=a^2+2i\cdot ab-b^2, группируем:
   $$i=\left(a^2-b^2\right)+\left(2ab\right)\cdot i$$
2. Посмотрите внимательно. Слева у нас стоит i, которую можно представить как 0+1*i. Отсюда получаем, что
   $$\left\{\begin{array}{c}{a}^2-b^2=0,\\ 2ab=1;\end{array}\right.$$ причём $a,b\in \mathbb{R}$. Выражаем b из второго уравнения и подставляем в первое:
   b=\frac{1}{2a}\Rightarrow a^2-\left(\frac{1}{4a^2}\right)=0 $b=\frac{1}{2a}\Rightarrow a^2-\left(\frac{1}{4a^2}\right)=0$ Отсюда a=\sqrt[4]{\frac{1}{4}}. Нас интересуют только 2 действительных корня этого уравнения:
   $$a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Подставим их в выражение $b=\frac{1}{2a}$ и получим 2 случая и два значения корня из мнимой единицы:
   
   

   При a=+\frac{1}{\sqrt{2}}	При a=-\frac{1}{\sqrt{2}}
   b=+\frac{1}{\sqrt{2}}	b=-\frac{1}{\sqrt{2}}
   \sqrt{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i	\sqrt{i}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i

В следующий раз мы научимся брать логарифм отрицательного числа и вычислим, синус какого угла равен двум.

P.S. Куры, как и все прочие птицы, — динозавры, согласно современной кладистике. Так что динозавры не вымерли, они просто отрастили клювы и научились летать.