Онлайн подготовка к ЕГЭ-2020 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Быть, а не казаться

Быть, а не казаться

Здравствуйте!

Ужасные ящерыМнимые числа мнимые, курица – не динозавр… Эти и другие дремучие заблуждения преследуют людей. Многие доживают с ними до старости — но не вы. Потому что мы развеем их в сегодняшнем выпуске.
Возьмите ручку и клочок бумаги. Напишите на нем 2 + 1=3. Теперь посмотрите на свои руки. Вы только что выполнили и записали этими самыми руками операцию сложения двух мнимых комплексных чисел. Которые на самом деле не более мнимые, чем все остальные числа и прочие математические объекты.



Комплексные числа имеют вид z=a+ib, где a и b — действительные числа, а i называется «мнимой единицей» и представляет собой число, квадрат которого равен −1: i2 = −1 «Комплексные» они от слова complex — «составной». Смысл в том, что если множество действительных чисел представляется числовой прямой, то множество комплексных чисел — это множество точек плоскости. Если на комплексную плоскость наложить декартову систему координат, которая есть две перекрещенные под прямым углом числовые прямые, то каждой точке плоскости можно сопоставить пару чисел с координатами (a, b), где a — действительная часть комплексного числа Re(z), а b — мнимая Im(z). Re(z) откладывается по оси абсцисс, а Im(z) — по оси ординат. Действительные числа тогда оказываются подмножеством комплексных, у которых мнимая часть, т.е. ib, равна нулю, то есть они лежат на оси абсцисс. На ту же плоскость можно наложить и полярную систему координат. В ней координатами являются угол φ между радиус-вектором к точке и положительным направлением оси абсцисс и длина этого радиус-вектора r —то же самое, что модуль комплексного числа r=|z|=a2+b2. И если центры декартовой и полярной систем совместить, то одно и то же комплексное число можно записать как в алгебраической, так и в тригонометрической форме. Различные представления комплексного числа

Угол φ также называют аргументом комплексного числа Arg(z). Очевидно, что если к такому-то углу прибавить сколько угодно раз по 2π радиан или по 360°, то точка, изображающая комплексное число, перейдет сама в себя. Поэтому математики условились, что у комплексного числа будет главный аргумент, arg(z), (да, почему-то с маленькой буквы) лежащий в пределах (−π ;π]. Эту периодичность комплексных чисел всегда надо иметь в виду при выводе выражений с их участием. И комплексные числа нельзя сравнивать друг с другом, для них понятия «больше» и «меньше» не имеют смысла.

Функция комплексного переменного
Надо понимать, что функция комплексного переменного — совсем не то же, что функция двух действительных переменных. Для того, чтобы просто изобразить её значения, требуется задать вторую комплексную плоскость. Значения комплексной переменной берутся из первой плоскости, а значения функции от этой переменной откладывается на второй.

Функции комплексного переменного зачастую многозначные на всей или почти на всей своей области определения.

Наконец, формула Эйлера позволяет записать комплексное число в экспоненциальной форме: z=a+ib=rcosφ+irsinφ=reiφ

Так комплексные числа одним махом связывают друг с другом алгебру, геометрию и математический анализ. В принципе, одной этой формулы уже достаточно, чтобы вывести несколько диковинных фактов из мира комплексных чисел.

Пример. Квадратный корень из i

С квадратом мнимой единицы всё ясно. А вот так из нее извлекается квадратный корень.

  1. Предположим, что корень из i — некоторое комплексное число a+ib. Нам нужно найти эти a и b:

    i=a+ib
    Возводим обе части уравнения в квадрат:
    i2=a+ib2
    i=a2+2iab+i2b2=a2+2iab-b2, группируем:
    i=a2-b2+2abi
  2. Посмотрите внимательно. Слева у нас стоит i, которую можно представить как 0+1*i. Отсюда получаем, что
    a2-b2=0,2ab=1; причём a,bR. Выражаем b из второго уравнения и подставляем в первое:
    b=12aa2-14a2=0 b=12aa2-14a2=0 Отсюда a=144. Нас интересуют только 2 действительных корня этого уравнения:
    a=±12 Подставим их в выражение b=12a и получим 2 случая и два значения корня из мнимой единицы:

    При a=+12При a=-12
    b=+12b=-12
    i=12+12ii=-12-12i

Согласно «основной теореме алгебры», у любого многочлена n-й степени с комплексными (в т.ч. действительными) коэффициентами есть по крайней мере n комплексных корней. В частности, у уравнения x2=-1 два корня, i и −i. Поэтому определение i=-1 неоднозначно, и его надо избегать. Про корни n-й степени из комплексной (не мнимой) единицы мы еще расскажем.

В следующий раз мы научимся брать логарифм отрицательного числа и вычислим, синус какого угла равен двум.


P.S. Куры, как и все прочие птицы, — динозавры, согласно современной кладистике. Так что динозавры не вымерли, они просто отрастили клювы и научились летать.