Это страшное слово "Параметр"

По статистике, самыми сложными задачами ЕГЭ по математике для выпускников оказываются именно уравнения и неравенства с параметрами. Впрочем, даже бывалые математики нередко теряются перед сложнейшими математическими схемами, в которых может быть не одна, и даже не две, а целых три переменных! Запомните: перед нами не проблема, которая неизбежно испортит нам жизнь, а всего лишь задача, для которой существуют свои пути решения. Не верите? Попробуйте решить ее вместе с нами!

Итак, предлагаем не размениваться на мелочи. Возьмем сразу не просто уравнение, а систему уравнений – так у нас появятся сразу две переменные и, в добавок к ним, конечно же, параметр. Кроме того, обязательно добавим хотя бы вторую степень и элементы иррациональности – например, квадратный корень. В таких условиях система может иметь аж до 4 решений! Все еще не испугались? Тогда вперед!

Самое время дать четкое условие нашей с вами жутковатой задачи. Итак, нужно найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет ровно 4 различных решения:

Что ж, выглядит не так страшно, как могло бы, не так ли? Начнем раскручивать этот запутанный клубок. Первое, что можно тут исправить – это убрать иррациональность. Вы наверняка знаете, как: воспользуемся проверенным методом замены переменной. Самое простое, что можно придумать – обозначить новой буквой весь корень целиком. Сразу выпишем и обратное преобразование, чтобы избавиться от предыдущей переменной у во всех уравнениях:

Впрочем, здесь тоже стоит быть осторожными, и отслеживать, получается ли установленное соответствие однозначным. В нашем случае для каждого у существует ровно одно неотрицательное t, и для каждого неотрицательного t существует ровно одно y. Поэтому вместо первоначальной мы можем рассматривать следующую систему при неотрицательных t:

Она должна иметь ровно 4 решения, для которых дополнительное условие неотрицательности выполняется. Присмотритесь: первое уравнение системы, по сути, является задаваемой функцией. Конечно же, хоть немного исследовать ее будет полезно для решения задачи! Кроме того, учтем t > 0. Правая часть – это парабола с ветвями, опущенными вниз, и выше оси х она поднимается только на отрезке [0, 2] – при этом t дважды пробежит отрезок от 0 до 1:

Таким образом, первое уравнение системы дает нам два значения х для неотрицательного t на полуинтервале [0, 1). Так как нам нужно 4 решения системы, то из второго уравнения нам предстоит получить ровно два корня по переменной t в нужном промежутке. Подставим первое уравнение во второе, чтобы убрать х:

Мы с вами видим квадратное уравнение – наконец-то что-то простое и понятное, да? Легко найти его корни: - а и а + 1. Их должно быть ровно два в промежутке [0, 1) и они не должны совпадать. Осталось решить всего пару простейших неравенств!

Итак, друзья, мы с вами буквально на финише. Получили итоговый ответ на вопрос задачи: ровно 4 решения система имеет при

Сложная и ужасная задача с параметром разобрана по слоям и решена в кратчайшие сроки! Уверены, у тех, кто прошел этот путь вместе с нами, не вызовут сложностей и другие задачи с параметром – например, №17 из ЕГЭ.