Фабрика в наследство

Вы когда-нибудь мечтали унаследовать от какого-нибудь дальнего родственника огромное состояние, которое решило бы все ваши проблемы и позволило бы жить беззаботной жизнью миллионера? Ведь именно так случается в фильмах: главный герой становится владельцем заводов, газет, пароходов и теперь может тратить деньги не раздумывая…

Именно так думал мистер Браун, когда адвокат известил его о том, что, по завещанию покойного двоюродного дядюшки, мистеру Брауну достается в наследство фамильная кондитерская фабрика. Фамильной фабрика называется не зря: она начиналась с крошечной лавки в пригороде, где и один-то повар мог развернуться еле-еле, и с тех пор множество поколений семьи Браунов печет известные на всю страну пирожные, которые можно попробовать только здесь.

Мистер Браун уже подумывал о приобретении домика на побережье, с доходов внезапно полученной фабрики, как неожиданно выяснилось: вот уже несколько лет как фабрика работает в убыток, и никаких доходов мистеру Брауну получить не удастся. Все мечтания оказались несбывшейся сказкой, и мистеру Брауну пришлось взять себя в руки и отправиться инспектировать неожиданное наследство.

Когда мистер Браун прибыл в небольшой городок, где располагалось производство, управляющий фабрики с радостью предоставил ему все свои расчеты. Выяснилось, что фабрика производит более 15000 пирожных в месяц. Кроме того, при изготовлении р пирожных в месяц расходы фабрики на производство одного пирожного составляют не менее  рублей, а цена, по которой можно продать каждое пирожное, при этом не превосходит рублей.

Мистер Браун схватился за голову: вместо сказочных доходов неожиданное наследство требовало дополнительных вложений! Разумеется, просто продать фабрику или остановить производство было нельзя – не зря же фабрика называется Фамильной! Она должна быть передана потомкам!

Мистер Браун вместе с управляющим закопались в бумаги: как же определить оптимальный уровень производства, при котором издержки будут хотя бы минимальными, если не отсутствующими? И, пожалуй, с этой чисто математической задачей мы уже можем им помочь!

Будем придерживаться оптимистичного прогноза – будем считать расходы на производство одного пирожного минимальными, а цену, по которой можно его продать – максимальной, то есть возьмем именно те выражения, которые указаны в условии. Теперь выпишем функцию убытков у(р) от производства р пирожных – из расходов вычтем прибыль, полученную от продажи:

Данную функцию нам нужно минимизировать, то есть найти значение аргумента, при котором функция имеет минимальное значение. В этом на первый взгляд обычном квадратном трехчлене нам с вами мешает модуль – он может быть раскрыт по-разному в зависимости от знака выражения. Придется разбирать две ситуации:

Рассмотрим вариант  Раскроем модуль со знаком минус. Не забываем, что еще один минус перед модулем уже стоит в выражении! 

Это парабола с ветвями, направленными вверх, а значит, наименьшее значение функция принимает в ее вершине. Находим координаты вершины параболы:

Что ж, в этом варианте наименьшие возможные убытки – 36 тысяч рублей в месяц при производстве 12 000 пирожных. Рассмотрим теперь второй случай – раскроем модуль со знаком плюс. Опять не забываем, что минус перед модулем уже стоит в выражении:

Это также парабола с ветвями, направленными вверх, а значит, наименьшее значение функция принимает в ее вершине. Находим координаты вершины параболы:

В этом случае наименьший размер убытков также составляет 36 тысяч рублей в месяц, при производстве 24 000 пирожных. Стоит отметить, что изначально в условии было сказано о том, что фабрика производит более 15 000 пирожных в месяц. Выбираем правильный ответ к задаче – 24 000 пирожных. Мистер Браун, принимайте результат расчетов!

Насколько нам известно, эта кондитерская фабрика просуществовала еще долгие годы. Возможно, в этом есть и наш с вами небольшой математический вклад.