История про кроликов и арабские цифры

В далеком двенадцатом столетии нашей эры один итальянский торговец путешествовал со своими обозами товаров и всеми домочадцами по Средиземноморью. Его звали Гульельмо Боначчи – скажите, вам о чем-нибудь говорит это имя? Впрочем, вероятно, его имя вам неизвестно, а вот похожую фамилию вы точно слышали! Если сейчас вы подумали про известного математика Фибоначчи, то были абсолютно правы: начало прозвища «Фи» обозначает сына. Будущий ученый обошел вместе с отцом, как тогда говорили, весь разумный свет. Его путь проходил и через Грецию, и через арабские страны, и при этом сыну торговца все время приходилось иметь дело с числами, а потому он очень быстро оценил удобство и простоту индийско-арабкой системы счисления. Да, именно той, которой пользуемся сейчас мы с вами.

В 1202 году Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, опубликовал свою знаменитую книгу "Liber Abaci", которая ввела десятичную систему чисел в Европу. Фибоначчи подробно объяснил и переписал арифметику и алгебру, используя десятичную систему счисления и позиционные числа, и это настолько упростило расчеты по сравнению с римскими цифрами, что новое счисление очень быстро охватило практически все государства.

Однако готовы поспорить, что известного математика Фибоначчи вы вспомнили совсем по другой ассоциации. Его именем названо немало математических объектов, но самая известная, конечно, последовательность Фибоначчи – та самая, где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Спрашивается, как она возникла и для чего была нужна?

Разумеется, в математике ничего не возникает просто так, и последовательность появилась как ответ на вопрос задачи. По условию, один зажиточный крестьянин хотел разводить кроликов, и начал с одной пары крольчат. Каждая пара кроликов принесет еще двух крольчат в течение месяца, а еще через месяц крольчата подрастут и тоже смогут приносить потомство. Как высчитать, сколько пар кроликов будет у крестьянина через пару месяцев? Через год? Через несколько лет?

Давайте рассуждать. Изначально крестьянин имеет одну пару. В первый месяц исходная пара крольчат еще мала, поэтому на второй месяц они все еще остаются в одиночестве, однако уже к началу третьего у них появится два крольчонка. К четвертому месяцу у исходной пары появятся еще двое, а первые крольчата, рожденные уже здесь, еще не смогут приносить потомство, поэтому пар кроликов окажется три. Сколько пар кроликов смогут принести потомство к пятому месяцу? Уже не только исходная пара, но и родившаяся два месяца назад – к началу третьего месяца у нас было уже две пары кроликов, помните? Если мы прибавим их количество, равное количество полученных пар в потомстве, к количеству тех кроликов, которые уже живут у крестьянина на начало четвертого месяца, мы как раз получим популяцию на начало пятого. Вот так и образуется последовательность Фибоначчи: 1 . 1 . (1 + 1) . (2 + 1) . (3 + 2) . (5 + 3) … Теперь можем выяснить, сколько кроликов будет через год: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 – к началу тринадцатого месяца кроликов окажется целых 233 пары!

А теперь задачка со звездочкой: крестьянин хочет перемешивать между собой по две пары кроликов для лучшего разведения. К третьему месяцу у него будет всего две пары, можно перемешать их, к двенадцатому – 144, это число тоже делится на два. А как часто вообще в последовательности встречаются четные числа? Как часто у нас получится проводить такую выборочную селекцию?

Чуть выше выписано 13 членов последовательности: давайте присмотримся к ним повнимательнее. Оказывается, на 2 делится каждое третье число в этой цепочке – 2, 8, 34, 144. Но будет ли это сохраняться дальше? Интуитивно мы думаем, что конечно - да, однако математика требует от нас строгих доказательств.

Помните народную математическую мудрость? Не знаешь, как доказывать – доказывай по индукции! Тем более, что в наличии у нас с вами последовательность – сюда этот метод очевидно хорошо подходит.

Итак, мы хотим доказать, что каждый третий член последовательности Фибоначчи делится на два. Запишем это так: сначала оговорим последовательность, потом утверждение.

Первое, что нужно проговорить – это база индукции. В нашем случае можем начать с k = 1, в этом случае F(3k)= 2 делится на 2. Теперь перейдем к шагу индукции – шаг индукции делаем по переменной k. Пусть F(3k) . Тогда записать F(3(k+1)) можно следующим образом:

Последнее выражение абсолютно точно делится на 2 – ведь первое слагаемое четное по предположению индукции, а второе содержит множитель 2.