Как число "пи" иголкой измеряли

Еще древнеегипетским и вавилонским ученым было известно, что для любого круга отношение длины окружности и диаметра равняется одному и тому же числу. В Древнем Вавилоне приравнивали это число к трем, а в Древней Индии – к корню из десяти. К сожалению, точное значение числа π неизвестно до сих пор. Тем интереснее становится эта загадка для математиков! Новые способы вычислить число π еще точнее изобретаются постоянно – например, ряд из обратных квадратов сходится к одной шестой заветного значения. Однако мы с вами измерим число π экспериментально – при помощи всего лишь иголки и листа бумаги!

На самом деле, в этой задаче мы вновь столкнемся с геометрическим определением вероятности. Первое, что нам необходимо сделать – разметить лист бумаги параллельными линиями на одинаковом расстоянии друг от друга так, чтобы это расстояние было больше длины иголки. Второй пункт нашего плана – посчитать, с какой вероятностью случайным образом брошенная на этот лист игла попадет на одну из линий. Если присмотреться к задаче внимательнее, станет понятно, что в силу симметрии нам не важно, какую именно линию пересечет иголка. Для определения ее положения будет достаточно всего двух параметров: расстояния от ближайшей линии до середины иглы и угол, который образует игла с направлением разметки. Обозначим параметры так, как показано на чертеже:

В такой модели d может меняться от 0 до L/2, так как мы рассматриваем расстояние до ближайшей линии, а угол a – от 0 до π радиан. При этом из чертежа явно следует, что для пересечения иголкой одной из линий требуется только выполнение неравенства d ≤ (h/2) * sin a. Давайте представим это соотношение на графике:

Прямоугольник здесь представляет собой все возможные исходы одного эксперимента, а ниже красной линии графика функции (h/2) * sin a расположены те из них, при которых иголка пересечет разметку: для этих точек выполняется неравенство. Настало время вспомнить геометрическое определение вероятности! Посчитаем площадь под графиком через определенный интеграл:

И теперь вычислим вероятность как отношение S и площади всего прямоугольника: она равна P = 2h/πL.

Отлично, мы почти решили задачу! Спрашивается, как же отсюда можно получить число π? Давайте выразим его из полученной формулы: π = 2h/PL. Чего-то не хватает? И правда, откуда мы можем взять значение вероятности, если число π здесь использовать нельзя? Вспомните: мы хотели получить заветное значение экспериментально. Возьмем вместо точного значения вероятности долю сделанных нами бросков иглы, при которых игла пересекла одну из линий. Чем больше бросков мы сделаем, тем ближе будет это число к вероятности, а значит – тем точнее получится вычислить число π! 

К сожалению, даже потратив на эксперименты несколько свободных вечеров, нам вряд ли удастся получить даже четвертый верный знак после запятой. На сегодняшний день существует несколько обобщений этой задачи: рассматривают броски длинной иглы, пересекающей сразу несколько линий разметки, броски многоугольника, ломаной и даже макаронины – для таких задач рассматривается уже не вероятность, а математическое ожидание числа пересеченных линий. Попробуйте и вы получить значение легендарной математической константы при помощи только иголки и листа бумаги!