Как выиграть автомобиль?

Хоть раз в жизни, должно быть, каждый из нас задавался вопросом: как выиграть автомобиль? Впрочем, речь могла идти о любом другом выигрыше, который предлагают многочисленные лотереи и телешоу. В том случае, когда призовой номер выбирается случайным образом из огромного количества билетов, шансы на победу, очевидно, невысоки. Тем занимательнее исследовать ситуации, когда выбор нужно сделать всего из трех вариантов!

Именно к их числу относится так называемый Парадокс Монти Холла – задача, основанная на американской телеигре «Let’s Make a Deal». Правда, в узком смысле эта задача парадоксом не является, так как не содержит логического противоречия, но ее решение для многих оказывается неожиданным. Итак, готовы начать игру?

Представьте, что Монти – бессменный ведущий телешоу, в честь которого был назван парадокс – предлагает вам открыть одну их трех дверей. Заранее известно, что с равной вероятностью за любой из них может находиться автомобиль. За двумя другими дверьми прячутся козы. Получается, что игрок может получить приз с вероятностью 1/3, но это было бы слишком просто, не так ли?

В классической формулировке парадокса после того, как выбор сделан, Монти открывает одну из оставшихся дверей – обязательно ту, за которой находится коза. Если оказывается, что игрок выбрал правильную дверь, то ведущий открывает любую из оставшихся с равной вероятностью. Мы подошли к тому моменту, который вызывает сомнения у телезрителей: теперь Монти предлагает игроку изменить свой выбор. Итак, главный вопрос задачи – изменятся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примите предложение ведущего?

На первый взгляд, смена двери не должна повлиять на вероятность выигрыша. Если Монти всегда исключает одну дверь с козой, то логично, что за оставшимися двумя автомобиль окажется с равными вероятностями. Однако такое рассуждение в корне неверно! Несмотря на то, что изначально все три двери могли привести к выигрышу с равными вероятностями, позже – по условию – у них были разные шансы быть исключенными. Действительно: если заранее предположить, что игрок отказывается от предложения ведущего изменить свой выбор, то выигрыш он получит ровно с той вероятностью, с которой выигрышной окажется изначально выбранная им дверь – 1/3. И напротив, если за первой выбранной дверью окажется коза – напомним, что это произойдет с вероятностью 2/3 – при смене двери нам гарантированно достанется автомобиль, ведь вторую дверь с козой уже исключил Монти. Удивительно, но, приняв предложение ведущего, нам удастся в два раза повысить шансы на победу!

На эту игру можно взглянуть и с другой стороны. Предположим, что правила известны игрокам заранее. Если считать, что игрок всегда меняет дверь после предложения Монти, то окажется, что будут открыты обе двери, которые не были выбраны изначально – одну откроет ведущий, вторую игрок. Таким образом, делая свой первый выбор, нам нужно указать ту дверь, за которой автомобиля точно нет – это можно сделать с вероятностью 2/3.

Неудивительно, что настолько высокие шансы на победу показались организаторам шоу неприемлемыми. Появились другие варианты поведения ведущего: например, Адский Монти предлагает изменить выбор только тогда, когда игрок уже указал на дверь с автомобилем. Тем не менее, для любой его стратегии можно рассчитать вероятность выигрыша по такой же схеме и решить, стоит ли менять дверь.