Кратчайший путь

В математике нередко случается так, что ограничиться полумерами не получается, и приходится искать самое-самое решение: самое большое значение функции, прямоугольник самой маленькой площади, самую близкую точку… Другими словами, необходимо решить задачу на нахождение экстремума некоторой величины.

Самый популярный подход в этом случае – причем не только для алгебраических задач, но и для геометрических – заключается в использовании производной. Например, чтобы выяснить, какой длины должны быть стороны прямоугольника площадью 9 см², чтобы его периметр был минимален, можно обозначить одну из сторон за х и представить периметр в виде функции P = 2x + 2*(9/x). Тогда ее производная P’ = 2 – (18/x^2) будет меньше нуля слева, больше нуля справа, и равна нулю в точке х = 3, а значит, в этой точке функция периметра имеет минимум, и прямоугольником с минимальным периметром является квадрат 3*3. Но что делать, если искомую величину выразить функцией очень сложно или совсем не получается? Конечно, искать короткую дорогу!

И это вовсе не фигура речи. В начале 18 века была поставлена и решена задача Фаньяно о поиске треугольника минимального периметра, вписанного в данный остроугольный треугольник, и притом решена очень любопытным способом: через утверждение, что кратчайший путь между двумя точками на плоскости – прямая! А вы готовы применить это знание на практике?

Первое, что мы сделаем – впишем в треугольник KLM произвольный треугольник ABC. И задумаемся: чему равен его периметр, предмет нашего исследования в этой задаче? Применим осевую симметрию – получим, что он равен длине ломаной A₁CBA₂. Но… помните про короткую дорожку? Как бы мы не перемещали точки B и C, длина отрезка A₁A₂ не изменится, будет меньше, чем длина любой ломаной. Так давайте ее «выпрямим»! Переместим точки B и C в однозначно определенные для каждого расположения точки А точки B₁ и C₁. Что ж, теперь дело за малым – осталось выяснить: куда поместить точку А?

Во многих задачах планиметрии есть ключевой элемент, и здесь это треугольник КA₁A₂. Он не только равнобедренный, ведь КA₂ = КA = КA₁, его угол при вершине К не зависит от выбора точки А и всегда равен двум углам LKM. А это значит, что длина основания A₁A₂ будет минимальна тогда и только тогда, когда минимальна боковая сторона, равная отрезку КА. Найдем короткую дорогу еще раз! Кратчайшее расстояние от точки до прямой – перпендикулярный отрезок, поэтому точку А будет основанием высоты исходного треугольника.

Кстати, так как вписанный треугольник минимального периметра единственный, для точек В и С можно провести точно такие же рассуждения. Конечной целью нашего короткого, но красивого исследовательского пути оказался ортотреугольник!