Математические фокусы

Задавались ли вы когда-нибудь вопросом, как развлекаются математики? Ведь они тоже люди – а всем нам иногда хочется капельку волшебства! И вот тогда появляются фокусники – как говорил Дядюшка Мокус, ловкость рук и никакого мошенничества.

Конечно, у математиков фокусы специфические – все они про числа и их свойства, но и в строгой науке математике нет места мошенничеству – только анализ и расчет! Любой фокус можно решить, как задачу, если знать правильный подход. Попробуем? Итак, впервые на манеже – фокус про супер-длинное число!

Какое число может считаться супер-длинным? Мы предлагаем вам загадать аж 2024-значное число, но с некоторыми условиями: любые его две соседние цифры, расположенные в том же порядке, должны образовывать двузначное число, делящееся или на 19, или на 23, а первая цифра - 4. Уже задумались, как такое может быть? Но это еще не все! Фокусник-математик сможет угадать, какая цифра у такого числа окажется последней.

Как же разгадываются такие фокусы? Давайте действовать как зритель: попробуем придумать подходящее супер-длинное число. Так ли много, на самом деле, двузначных чисел, которые делились бы на 19 или 23? Выпишем их все: на 19 делятся числа 19, 38, 57, 76, 95, а на 23, соответственно, 23, 46, 69, 92.

Первая цифра загаданного числа должна быть четверкой. А пара первых двух цифр должна быть двузначным числом из нашего списка – делиться на 19 или 23. На 4 начинается только одно из них – 46. Начало цепочки положено!

Продолжаем: теперь первая цифра двузначного числа – 6, и здесь у нас тоже нет вариантов: выбираем число 69. А вот следующая цифра уже под вопросом: на 9 у нас начинаются два допустимых числа – 92 и 95. Рассмотрим их по очереди.

Если нам в цепочке цифр встречается двойка, за ней может идти только 3 – списке только одно подходящее число, 23. За тройкой, аналогично, следует 8 – берем 38, такое число такое одно. Однако продолжить цепочку дальше не получится – у нас нет подходящего числа, начинающегося с 8. Значит ли это, что 2 – 3 – 8 не могут встречаться в цепочке цифр вообще? Нет, просто 2 должна быть не далее, чем третьей с конца цепочки, 3 – второй, а 8 – только последней.

Однако мы с вами собрали пока только короткую цепочку 4 – 6 – 9, поэтому вариант с двойкой нам не подходит. Рассмотрим второй вариант, с цифрой 5. Следующей цифрой должна быть 7 (берем число 57), затем 6 (берем число 76). А вот тут следует заметить, что мы вернулись к ситуации, в которой уже были: мы уже рассматривали, какая цепочка цифр должна следовать за 6, и именно она здесь повторится. В итоге у нас получится практически периодическая последовательность:

4 – (6 – 9 – 5 – 7) – (6 – 9 – 5 – 7) – (6 – 9 – …

Причем, как мы с вами уже доказали, это единственный вариант для достаточно длинного числа. Что же мы увидим на его конце?

Так как 2021 = 1 + 4×505, то на 2021 цифре в нашем супер-длинном числе как раз закончится очередной «период», а 2022-ой цифрой вновь будет 6, 2023-ей = 9. И вот тут нужно быть внимательными: мы можем закончить наше число пятеркой, как и во всех предыдущих периодах, а можем вспомнить, что у нас есть запасной вариант – цифра 2, не далее чем третья с конца. И здесь она подходит!

Что ж, сколь бы длинным не было число, нам с вами удалось разгадать фокус: у последней цифры всего два варианта – 5 и 2. Поздравляем, теперь вы – настоящие математики-фокусники!