Математические сюжеты. Сюжетная 18-ая задача из ЕГЭ

Должно быть, уже не раз, читая статьи в этом Блоге, вы убеждались, что у каждой задачи есть своя история. Математика неспроста зовется Царицей наук – все, что изучается на школьных уроках, имеет самое широкое применение в жизни! Конечно, по сухим цифрам и уравнениям, где не указаны даже единицы измерения, бывает трудно предположить, как использовать их в практических целях, однако существует целый класс задач, для которых ничего предполагать не нужно. Да-да, речь пойдет о так называемых сюжетных задачах, где сразу в условии рассказывается, из какой непростой ситуации нам предстоит искать выход в этот раз. А те, кто начал подготовку к экзаменам заранее, еще и подскажут, что в ЕГЭ сюжетные задачи могут попасться вам в 18 задании.

Итак, наша с вами задача переносит нас сегодня в фермерское хозяйство. По условию, нужно закупить крупный рогатый скот: коров и телят. Общий бюджет на всю покупку – 495 тысяч рублей, эту сумму превышать нельзя. Корова стоит 17 тысяч рублей, а теленок – 13 тысяч. Кроме того, есть еще одно немаловажное условие – число телят не должно отличаться от числа коров больше, чем на 5 голов.

Как и во всех прочих задачах, встречающихся в 18 задании, тут нас с вами ждет три вопроса, подводящих друг к другу, поэтому отвечать на них мы будем по порядку. Первый, самый простой, звучит так: Можно ли при таких условиях купить 32 животных? Разумеется, здесь достаточно привести пример. Давайте попробуем купить поровну коров и телят – по 32/2 = 16 голов. Это обойдется в 16×13 + 16×17 = 480 тысяч рублей, мы вполне укладываемся в бюджет. Ответ на первый вопрос – да, можно.

Во втором вопросе нас спрашивают о том, можно ли при таких условиях купить уже 35 животных? Интуиция подсказывает, что в этот раз ответ не должен  повторяться, и купить 35 животных нельзя. В самом деле, если мы попробуем так же «в лоб» поделить животных примерно поровну, то выйдем далеко за рамки бюджета. Однако для доказательства невозможности одно примера будет уже недостаточно. Рассмотрим разделение 35 голов на коров и телят внимательнее. Чтобы итоговая сумма была как можно меньше, нужно, чтобы среди 35 купленных животных было как можно больше тех, кто дешевле – то есть, телят. Их не может быть больше, чем (число коров) + 5 по условию задачи. Таким образом, минимальное число коров, которых нужно купить, составляет (35 - 5)/2 = 15, и, в таком случае, нужно закупить 20 телят. Минимальная стоимость 35 животных составляет 15×17 + 20×13 = 515 тысяч рублей, что все равно превосходит 495, поэтому ответ на второй вопрос – нет, нельзя. Мы с вами это доказали.

По традиции, ответ на третий вопрос уже не ограничится простым «да» или «нет». Теперь нам осталось посчитать, а какое максимальное количество животных мы сможем купить при таком раскладе? Воспользуемся теми же рассуждениями, что телят должно быть как можно больше. Максимальная допустимая разница – 5, поэтому обозначив за n число покупаемых коров, число покупаемых телят мы получим равным n + 5. Стоимость всей покупки составляет 13×(n + 5) + 17×n и должна быть не больше 495. Решив это неравенство, получим n ≤ 14,333.. , поэтому максимальное возможное число животных, которых мы можем купить, составляет 14 + 14 + 5 = 33. Проверим, что это возможно: покупая 14 коров и 14 + 5 = 19 телят, мы потратим 14×17 + 19×13 = 485 тысяч рублей, что меньше 495. Что ж, ответ на третий вопрос – 33, доказано!