Нетранзитивный выигрыш

Что мы понимаем под словом «парадокс»? Часто так называют логическое противоречие, несовместимость заданных утверждений. Однако в некоторых случаях факты, бросающие вызов здравому смыслу, полностью соответствуют аксиомам и не несут в себе никаких противоречий. Именно к таким задачам относятся многие парадоксы теории вероятностей и, в частности, Парадокс нетранзитивности, о котором мы расскажем в этой статье.

Транзитивным называется такое отношение двух объектов, что если оно связывает объекты А и В, В и С, то и для объектов А и С оно также справедливо. Например, на множестве целых чисел из утверждений А < В и В < С следует, что А < С. Значит, отношение «больше» на этом множестве транзитивно. В то же время отношение «неравенства» таким свойством не обладает: достаточно рассмотреть тройку чисел А = 2, В = 3, С = 2, для которой неравенство А и С не выполняется.

Давайте теперь рассмотрим четыре необычных игральных кубика: вместо привычных цифр 1-2-3-4-5-6 расположим на их гранях наборы 0-0-4-4-4-4, 3-3-3-3-3-3, 2-2-6-6-6-6 и 1-1-1-5-5-5. Очевидно, что такие кубики не будут равноценны в игре, но с каким из них вероятность выбросить большее число очков, чем противник, выше?

На синем кубике в двух случаях из шести выпадет 0 очков, и в четырех из шести – 4. На красном кубике всегда будет 3 очка. С вероятностью 2/3 победа будет принадлежать владельцу синего кубика, то есть для такой пары объектов справедливо отношение «для первого вероятность выигрыша больше, чем для второго». Для красного и зеленого кубиков можем получить тот же результат: шансов выбросить 6 очков на зеленом кубике в два раза меньше, чем 2 очка, и вероятность победы с красным кубиком также равна 2/3. В последней паре, среди зеленого и желтого кубиков, так же оказывается предпочтительнее первый: победа останется за владельцем зеленого кубика при выброшенных 6 очках или в случае, когда на первом кубике 2 очка, а на втором – одно, то есть с вероятностью 2/6 + (4/6)×(3/6) = 2/3.

Итак, мы выяснили, что каждый последующий кубик «хуже» предыдущего в 2 раза. Логично было бы предположить, что вероятность выигрыша с синим кубиком уж точно выше, чем с желтым, не так ли? Но проверить все же необходимо. При выпадении 5 очков на желтом кубике победа однозначно остается за его владельцем, а при выпадении 1 очка – только в случае 0 очков на синем кубике. Таким образом, вероятность победы для желтого кубика оказывается равной 3/6 + (3/6)×(2/6) = 2/3. Каким бы невероятным это не казалось, желтый кубик оказался в 2 раза «лучше» синего! Отношение «вероятность выигрыша больше» оказалось нетранзитивным. Среди этих кубиков нет «наилучшего», и если вы предложите вашему противнику взять кубик первому, вы всегда сможете выбрать тот, с которым вероятность вашей победы составит 2/3!