Невероятные вероятности

Наверное, сегодня в любой сфере жизни общества можно столкнуться с понятием вероятности. От прогноза погоды до продажи акций на бирже – оно используется везде. Тем труднее представить, что какое-то столетие назад теория вероятностей даже не считалась разделом математики! Только в 1929 году Андрей Николаевич Колмогоров предложил систему аксиом, превративших вероятность в точное математическое понятие.

Возникает закономерный вопрос: почему так получилось? Почему изучаемая еще в античные времена вероятность не являлась предметом научных исследований? Одна из причин состоит в том, что в основе теории вероятностей лежит анализ случайных событий, и их случайность можно определить многими способами. В результате у одной задачи будет несколько разных, но абсолютно верных решений. Считаете, что подобное невозможно? Давайте на примере докажем обратное!

Одну из самых известных подобных задач описывает так называемый парадокс Бертрана. Условие задачи звучит так: для заданной окружности выбирается хорда случайным образом, и нужно определить вероятность того, что выбранная хорда будет длиннее, чем сторона правильного треугольника, вписанного в окружность. Неопределенная случайность здесь кроется в том, как именно выбирается хорда – на этом строится весь фокус.

Итак, первый способ. Для каждой точки внутри окружности существует только одна хорда, серединой которой эта точка является. Поэтому случайный выбор хорды можно заменить на случайный выбор точки. Хорда будет длиннее стороны треугольника, если ее середина – случайная точка – окажется внутри вписанной в этот треугольник окружности. Тогда нужная вероятность получается геометрически – как отношение площадей малого и большого кругов:


Второй способ случайно выбрать хорду основан на соображениях симметрии: мы можем зафиксировать точку на окружности – например, вершину треугольника – в качестве первого конца хорды, и случайно выбрать второй конец. Так как окружность разбита на три равные части, то с вероятностью P_искомая= 1/3 второй конец окажется на красной дуге – в этом случае длина хорды будет больше стороны треугольника.

И, наконец, применяя третий способ, случайным образом выберем точку на радиусе окружности, и проведем через нее хорду перпендикулярно радиусу. В силу симметрии, мы можем взять любой радиус – таким образом у нас получится учесть все хорды. Если случайная точка находится на половине радиуса, расположенной ближе к центру, случайная хорда будет длиннее стороны треугольника. В этом случае нужная вероятность окажется равной P_искомая= 1/2 .

Итак, для одной задачи нам удалось получить три верных ответа – 1/4, 1/3 и 1/2. Это удивительный факт, однако он абсолютно не соответствует канонам математики! На самом деле, современная теория вероятностей считает, что во всех трех случаях решались разные задачи, потому что метод определения случайной величины – положения хорды – должен быть описан в условии. Невероятно, но факт: в математических задачах даже случайности определяются заранее!