О кривых монетах и прямых решениях

С чего обычно начинается изучение теории вероятностей? Конечно, сначала ученики знакомятся с определениями, но уже в самых первых задачах нам встречаются равновозможные исходы. По определению, события называются равновозможными, если нет никаких объективных оснований полагать одно из них более возможным, чем другое. И, конечно, обычно к такому расплывчатому объяснению сразу приводится пример: обыкновенная монетка. Если быть точнее, то равновозможными исходами броска монеты считаются выпадение орла и решки. Но что, если это не так?

С этим необычным фактом столкнулись юные математики Петя и Саша. На улице шел дождь, и сидеть в четырех стенах было настолько скучно, что ребята решили проверить, с какой частотой выпадает «орел» на старой, погнутой монете. А мы с вами помним, что чем больше количество бросков, тем ближе к значению вероятности выпадения «орла» будет подбираться такая частота, не так ли?

Считать частоту Петя и Саша решили по-разному. Петя бросал монету по пять раз и считал, сколько раз в такой серии выпадет «орел». Саша бросал монету по четыре раза и считал, сколько раз выпадет «решка».

Спустя долгое время и очень много бросков ребята заметили, что три «орла» у Пети выпадают с такой же частотой, что и две «решки» у Саши. Такого просто не могло быть с обычной, ровной монетой, выпадение обеих сторон которой равновозможно. И ребята решили провести еще один эксперимент: бросать монету по 6 раз и считать, с какой частотой «орлами» будут не менее половины результатов.
Конечно, чтобы получить достоверное значение, близкое к вероятности, друзьям придется бросать монету еще не один час. Поэтому они обратились за помощью к нам: сможем ли мы с вами вычислить такую вероятность аналитически?

На первый взгляд, кривая монета не оставляет нам шансов на быстрое и изящное решение: нам с вами не известно почти ничего. Что ж, попробуем пойти напрямую: нам дано равенство, осталось выписать его через переменные!

Формально, в условии задачи говорится о частотах, но так как серий бросков было достаточно много, мы с вами можем считать, что частоты равны вероятностям. Каким образом мы можем их выразить? Самый простой способ – через вероятность выпадения «орла» при единичном броске, она постоянная для данной монеты. Обозначим ее за р. Настало время вспомнить формулы Бернулли! Чтобы посчитать вероятность трех успешных испытаний в серии из пяти нужно, во-первых, взять число способов выбрать эти три испытания из пяти, затем домножить на вероятность успешного испытания в третьей степени, и домножить на вероятность неуспешного испытания в степени 5 – 3 = 2. В нашем случае вероятность неуспешного испытания – выпадения «решки» – равна (1 – р). Соберем все вместе:

Точно также проанализируем серии бросков Саши. Число испытаний – четыре, из них два успешных («орел») и два неуспешных («решка»). Записываем формулу еще раз:

По условию, эти вероятности совпадают. Приравняем два полученных выражения и найдем р:

Отлично! Зная вероятность выпадения «орла» в единичном броске монеты, мы с вами можем по тем же формулам посчитать и требуемую вероятность – вероятность того, что из шести бросков «орел» выпадет не менее трех раз. Для этого нам нужно просто сложить вероятности того, что «орел» выпадет ровно 3, 4, 5 и 6 раз – а как их искать, мы уже знаем. Сразу записываем всю сумму:

Мы с вами получили вероятность того, что в серии из 6 бросков «орел» на искривленной монете выпадет не менее трех раз, и нам для этого не пришлось бросать монету часами!