О математическом ожидании, командах и рейтингах

Что такое математическое ожидание? В интернете вы можете найти, например, такое определение: это мера среднего значения случайной величины. Или такое: это средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать случайная величина. Или даже такое: начальный момент первого порядка! Какое из них будет для вас самым понятным?
Сделаем шаг назад: допустим, у нас с вами есть случайное событие – например, падение игрального кубика определенной стороной вверх. Случайная величина – это численное выражение результата такого события – например, количество выпавших очков. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно – например, выпасть может только 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, но точно не два с половиной. А вот математическое ожидание дискретной случайной величины – это то, сколько в среднем очков мы ожидаем выбросить! Математическое ожидание обозначается М(х), где х – это случайная величина, и находится по формуле:

где х_i – это значение случайной величины (например, число очков), а р_i – это вероятность, с которой она это значение принимает. В нашем случае все р_i будут равны 1/6, поэтому математическое ожидание окажется равным (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5. И правда: чем больше раз мы будем бросать кубик, тем ближе доля выпавших двоек, троек и всех остальных чисел будет ближе к вероятности такого события – 1/6, и тем ближе среднее значение всех бросков будет ближе к формуле математического ожидания. Ну что ж, теперь, когда мы с вами разобрались в этом вопросе, мы может переходить к по-настоящему интересным задачам, не так ли?

Что может захватывать больше, чем дух соревнований? Вы правы – ничего! Поэтому от формул и определений мы переходим сразу же к турнирной таблице. В таблице нас встречают 64 команды. Нам точно известно, что команда с меньшим рейтингом – местом в турнирной таблице – всегда побеждает команду с большим рейтингом. Именно так произойдет и на предстоящих соревнованиях.

Соревнования устроены следующим образом: каждой команде случайным образом достается номер от 1 до 64 (все последовательности номеров равновероятны). В первом раунде между собой играют команды с номерами 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 и т.д. Во второй раунд проходят 32 победившие команды и играют между собой – победитель из первых двух команд играет с победителем из второй пары и далее так же. В последнем, шестом туре, между собой играют лучшая из первых 32 команд и лучшая из 32 последних.

Разумеется, очевидно, что победу в шестом туре одержит команда с рейтингом 1. Однако далеко не факт, что в этом туре ей придется сражаться с командой с рейтингом 2 – она могла вылететь на предыдущих этапах. Перед нами встает вопрос: какого математическое ожидание номера тура, в котором вылетит из игры команда с рейтингом 2?

Чтобы найти математическое ожидание, нам нужно всего две вещи: значения случайной величины и вероятности, с которыми она эти значения принимает. Так как наша случайная величина – это номер тура, то набор значений нам известен – натуральные числа от 1 до 6. Но как найти вероятность, с которой эта случайная величина будет равняться конкретному числу?

Вопрос можно задать проще: с какой вероятностью команда с рейтингом 2 вылетит в n-ном туре? А если учесть, что проиграть эта команда может только команде с рейтингом 1, то все внезапно становится еще проще: с какой вероятностью команда с рейтингом 2 столкнется с командой с рейтингом 1 в n-ном туре?

Начнем с n = 1. Пусть какой-то определенный номер, не важно, какой именно, достался команде с рейтингом 2. Тогда из оставшихся 63 номеров только один подойдет для того, чтобы команда с рейтингом 1 сразилась с командой с рейтингом 2 в первом же туре. А вероятность того, что именно этот номер команда с рейтингом 1 и получит, равна 1/63: число благоприятных исходов, разделенное на число всех возможных.

Теперь мы с вами знаем, как действовать! Попробуем применить эту схему к n = 2. Чтобы команды с рейтингами 1 и 2 встретились во втором туре, при определенном номере команды с рейтингом 2 команде с рейтингом 1 должен достаться один из номеров в той паре, победитель которой будет играть с командой 2. Например, если команда с рейтингом 2 получила номер 3, то команде с рейтингом1 нужен либо номер 1, либо номер 2, но номер 4 не подойдет – тогда мы вернемся к ситуации с n = 1. Получается, в этот раз вероятность будет равна 2/63 – ничего нового, ничего сложного!

Идем дальше. Третий тур: между собой сражаются лучшие команды из последовательных четверок. Получается, что команда с рейтингом 1 оказалась среди четырех команд, номера которых четко определяются номером команды с рейтингом 2. Например, если номер нашей команды оказался среди первых четырех, то номер команды с рейтингом 1 должен быть среди второй четверки – от 5 до 8. 4 благоприятных исхода при 63 возможных: вероятность равна 4/63!

Вы уже догадались, что точно также мы получим и вероятности вылететь в последующий турах. Не будем вас мучить и выпишем все вероятности сразу:

Осталось только применить формулу для математического ожидания – и она уже есть в этой статье выше. Последний шаг:

Мы получили, что, в среднем, команда с рейтингом 2 выбывает из таким соревнований в 5 туре. Значит ли это, что в 5 туре она выбывает чаще всего? Нет! Не стоит путать понятия. Наиболее вероятным исходом все еще остается выйти в финал. Однако математическое ожидание показывает, что другие варианты тоже случаются – не стоит сбрасывать их со счетов.