О милях, узлах и длине Земной окружности

Вы когда-нибудь обращали внимание на то, что, когда в книге или задаче речь идет о милях, автор нередко уточняет – сухопутные это мили или морские? На самом деле, в этом нет ничего удивительного, ведь милями называют разные единицы длины – морская миля почти на 250 метров больше! Как же такое противоречие допустила математика?

Ответ, как и всегда в подобных случаях, кроется в истории. Сухопутная миля появилась еще в Древнеримской империи, и изначально обозначала тысячу «двойных» шагов – по одному шагу каждой ногой. Уже позже королева Елизавета I закрепила ее длину законодательно – с тех пор сухопутная миля равняется 1609 метрам. А вот у морской мили совсем другая история. Ее длина была закреплена в международном соглашении только в 1954 году, когда ученые пришли к единому мнению по поводу длины окружности Земли. Спрашивается, для чего был нужен этот факт? Все очень просто: морская миля – это длина дуги величиной в одну минуту (одну 60-ю часть градуса) на поверхности Земли, и равняется она 1853,2 метра.

Но на этом путаница не заканчивается! Мы с вами вплотную подобрались к самой необычной единице измерения, но уже не длины, а скорости. Да, вы уже догадались – моряки измеряют скорость не в привычных нам километрах в час, и даже не в милях в минуту - моряки измеряют скорость в узлах! Делается это очень просто: на канате завязываются узлы с равным промежутком, после чего конец каната выбрасывается за борт. Остается посчитать, сколько узлов каната оказалось в воде, например, за минуту – и скорость известна! Обычно расстояние между узлами подбирается так, чтобы число узлов скорости совпадало с морскими милями в час – так удобнее считать, на какой широте находится корабль.

Разумеется, такой способ подсчета ставит перед нами множество математических задач – готовы попробовать их на зуб, как говорят пираты?

Итак, дано: корабельный канат, на котором с равными промежутками завязаны 2022 узла. Половину узлов покрасили в красный цвет, а на вторую половину красной краски не хватило, поэтому они были покрашены в синий цвет – при этом из-за того, что канат при покраске был свернут, неизвестно, в каком порядке расположены красные и синие узлы. Можем ли мы по такой ограниченной информации сказать, может ли суммарная длина всех отрезков каната, у которых левый конец – красный узел, а правый – синий, равняться суммарной длине всех отрезков, у которых синий узел – левый, а правый – красный? Концы отрезка – необязательно соседние узлы.

Давайте попробуем это себе представить. Во-первых, обозначим расстояние между узлами за условную единицу длины. Тогда можем сказать, что все узлы имеют координаты от 1 до 2022. А вот теперь настало время очень интересного подхода к решению таких олимпиадных задач – мы сведем все решение к четности!

Как это можно сделать? Вернемся к вопросу задачи – у нас спрашивают, могут ли две суммы быть равными? Для положительного ответа достаточно привести пример, а вот отрицательный придется доказывать – и это должно навести нас на мысль! Нам неизвестно про сами суммы и отрезки почти ничего, но зато мы можем сказать, что если сложить два равных числа, то в сумме обязательно получится четное число, а значит, если сумма длин ВСЕХ отрезков с концами разного цвета нечетна, то равными суммы длин отрезков с определенным положением разноцветных концов быть не могут – они целые числа, а нечетная общая сумма пополам не делится.

Итак, еще раз: мы свели задачу к тому, чтобы доказать НЕЧЕТНОСТЬ суммы длин ВСЕХ отрезков с разноцветными концами.

Что такое нечетная сумма? Это сумма, например, четного и нечетного. Можем добавить любое количество четных слагаемых, и четность суммы от этого не изменится, но нечетных слагаемых должно быть нечетное число. Теперь подумаем, что представляют из себя эти слагаемые? Это длины отрезков с разноцветными концами, а значит – разности координат двух узлов, один из которых – синий, а другой – красный. Для нечетной разности координат они должны быть разной четности. Видите, как часто встречается слово «четность»? Мы переписали через это понятие всю задачу!

Вернемся к узлам. Всего узлов на канате 2022, из них половина – красные. Получаем, что красных и синих узлов всего у нас по 1011 штук. Какая-то часть красных узлов имеет четные координаты – время вводить переменные! – обозначим его за х. Тогда «красно-нечетных» узлов остается 1011 – х. Четных синих узлов будет также 1011 – х, так как из 2022 узлов половина имеет четные координаты.

Количество и длина отрезков четной длины нас не интересуют, поэтому рассмотрим такие отрезки, где, во-первых, узлы-концы разного цвета, а во-вторых – разной четности. Всего таких отрезков, у которых нечетный конец – красный, окажется ровно (1011 – х)×(1011 – х) – перемножаем количество возможных красных концов на количество возможных синих. Аналогично посчитаем количество допустимых отрезков с нечетным синим концом . Искомая сумма равна: 

Как проверить ее четность?

При возведении числа в квадрат его четность сохраняется. Сумма чисел (1011 – х) и х равна нечетному числу 1011, откуда следует, что четность у этих чисел разная. Следовательно, их квадраты также имеют разную четность, и искомая сумма всех длин всех отрезков с разноцветными концами – нечетная.

Нечетную сумму невозможно поделить нацело на 2, а значит, задача решена – суммарные длины отрезков от красного до синего узла и от синего до красного совпадать не могут. Поздравляем: теперь вам по плечу любая морская задача!