О покраске заборов и чередовании

Вы когда-нибудь слышали в ответ на свое приветствие «Здрасьте!» бессмертную фразу «Забор покрасьте»? Именно с таким приёмом столкнулись Маша и Саша, когда приехали к бабушке и дедушке в деревню на летние каникулы.
Вокруг большой клумбы во дворе их дома установлен забор-штакетник – чтобы куры и гуси не покушались на любимые бабушкины гладиолусы. К сожалению, ветра и дожди были к деревянным доскам беспощадны, и изначальный забор пришел в негодность. Вчера дедушка сколотил новый заборчик, и, чтобы его не постигла та же судьба, было закуплено аж две банки краски – красная и белая.
Бабушка с дедушкой выдали краску Маше и Саше, и поручили им покрасить всю сотню дощечек кругового забора. Каждую можно покрасить в любой цвет – но только один. Когда взрослые ушли, между Машей и Сашей разгорелся спор: Маше нравилось, когда цвета дощечек чередовались через одну, а Саше хотелось, чтобы соседние дощечки были одного цвета. Чтобы окончательно не поругаться, они договорились красить по одной любой еще не покрашенной дощечке по очереди. Маше выпало выбирать дощечку первой, и она задумалась: а какое максимальное количество пар соседних дощечек она гарантированно сможет сделать разноцветными?
Маша пока учится только во втором классе, поэтому предлагаем вам помочь ей решить эту задачу – ведь для нас с вами это не составит никакого труда, не правда ли? Так как речь идет о гарантированном количестве таких пар, нам нужно не только назвать количество, но и, во-первых, доказать, что у Маши действительно есть стратегия, которая поможет ей добиться такой раскраски при любом выборе Саши, а во-вторых, доказать, что у Саши есть стратегия, которая не даст Маше сделать разноцветной хотя бы на одну соседнюю пару больше. Как это проще всего сделать? Разумеется, привести примеры!
Нужно ли нам находить оптимальные стратегии для Маши и Саши? Строго говоря, нет, достаточно, чтобы они сходились в оценке количества покрашенных разные цвета соседних пар дощечек. Поэтому начнем с самого простого способа – прикинем, могут ли Маша или Саша гарантированно увеличивать число таких пар дощечек, как им нравится, хотя бы на одну за каждый ход?
Пусть первым ходом Маша покрасит любую дощечку в любой цвет. Теперь в каждый свой ход Саша будет выбирать одну непокрашенную дощечку рядом с уже покрашенной (такая обязательно найдется, ведь так?) и красить ее в тот же цвет, что и соседняя. Так как всего дощечек сотня, Маша и Саша разделят их поровну и получат по 50 ходов. У Саши будет гарантированно 50 пар соседних дощечек одного цвета.
Как в таком случае действовать Маше? Полностью аналогично: в каждый свой ход Маша может точно также выбирать одну непокрашенную дощечку рядом с уже покрашенной, которая точно найдется, помните, да? – и красить ее в другой цвет. За оставшиеся 49 ходов Маша точно получит 49 соседних пар дощечек разного цвета. Но… Куда подевалась еще одна?
Так как среди 100 поставленных в круг дощечек соседних пар будет ровно 100, возникает вопрос: если 49 из них разноцветные пары, а 50 – одноцветные, какой будет последняя неучтенная пара?
Все очень просто: последняя пара будет также разноцветной, ведь разноцветных пар соседних дощечек в круге может быть только четное число. Разбираемся, почему: если после окончания покраски мы с вами пойдем вдоль заборчика, группы дощечек красного и белого цвета будут чередоваться, при этом мы вернемся к группе того же цвета, что и первая рассмотренная нами дощечка. Это означает, что пар, где первая встреченная нами дощечка красная, а вторая – белая, будет ровно столько же, сколько тех, где первая – белая, а вторая – красная.
Получаем точно-точно четное число разноцветных соседних пар, а значит, как минимум по 50 пар Маша и Саша смогут покрасить так, как им больше нравится. Победила дружба!