БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
Орлянка: Level Up

Орлянка: Level Up

Еще в дореволюционной России в городских лавках и на отдаленных почтовых станциях, когда за окном смеркалось и только пламя свечи разгоняло темноту, ямщики да коробейники садились играть в старинную русскую азартную игру – орлянку. Правила игры были предельно простыми: двое игроков загадывают разные стороны монеты, потом монету подбрасывают и смотрят: Орлом (О) или Решкой (Р) вверх она упала? Конечно, угадавший становился победителем.

Все мы знакомы с основами теории вероятностей – при таком раскладе вероятность выиграть была, как говорится, 50 на 50, и это не могло устраивать жуликов и шулеров всех мастей. Любая азартная игра должна приносить прибыль! А прибыль – это почти всегда результат точного расчета, уж поверьте математикам – они уже готовы обвести вас вокруг пальца! Так что же Вы готовы поставить на кон в настоящей математической азартной игре?

Начнем с того, что игру стоит усовершенствовать: пусть теперь игроки загадывают не один исход, а сразу два, причем выпасть они должны подряд и в нужной последовательности. Казалось бы, что изменилось? При двух подбрасываниях монеты комбинации ОО, ОР, РО, РР по-прежнему равновероятны. Однако именно здесь и кроется подвох: так как комбинации теперь четыре, за первые два подбрасывания ни одна из загаданных игроками может не выпасть, поэтому теперь мы с вами имеем дело со случайными моментами остановки – бросать монету придется до выпадения хотя бы одной из них. Это существенно усложняет дело, не так ли? Число подбрасываний монеты нам теперь неизвестно!

Впрочем, в некоторых случаях особых сложностей не возникнет. Например, комбинации ОО и РР, или ОР и РО в силу симметричности будут все же равновозможными. Если комбинации отличаются второй буквой, то к ним можно применить те же соображения, что в базовом варианте Орлянки: после О с равными вероятностями может выпасть О и Р, поэтому равновозможными будут пары ОР и ОО, а аналогично – РО и РР. Спрашивается, зачем мы усложнили игру, если шансов на выигрыш нам это не прибавило? Разгадка кроется в парах с различным первым значением – РО и ОО, ОР и РР. Давайте рассмотрим цепочку бросков монеты, в которой первой встретилась пара ОО. Если ей предшествует Орел, то такая пара должна была встретиться на один бросок раньше, а если Решка – то оказывается, что пара РО все же принесла победу другому участнику. Получается, выиграть с парой ОО (и, соответственно, РР) можно только выбросив эту комбинацию первой же парой бросков, а вероятность этого равна всего 1/4. Мы с вами получили Парадокс Нетранзитивности – в данном случае нетранзитивным оказалось отношение «более выигрышный» между двумя парами исходов. Это можно увидеть в таблице вероятностей выигрыша первого игрока: в каждом столбце указана выбранная комбинация первого игрока, а в каждой строке – второго.

21.png

Конечно, стоит вспомнить, что математики никогда не останавливаются на полпути – всего двух исходов, которые дадут нам дополнительные шансы на выигрыш, слишком мало. Идем дальше – еще больше усложняем игру! Теперь игроки загадывают цепочку уже из трех исходов – и ситуация становится еще более удивительной. А пока мы не раскрыли главный секрет такой игры, попробуйте составить такую же таблицу вероятностей выигрыша самостоятельно!

Выяснять, каких комбинаций следует избегать, а каких – придерживаться, будем выяснять по такому же принципу, как и для игры с загадываемыми парами исходов. Если цепочки отличаются только последней буквой – они равновозможны. Если одну цепочку можно получить, заменив все О на Р и наоборот, то они также равновозможны в силу симметричности. Рассмотрим цепочки из трех одинаковых исходов: если вторая загаданная цепочка отличается только первым элементом, то, как в случае в двумя исходами, встретиться ООО или РРР может только в первую тройку бросков – с вероятностью уже 1/8. Аналогичным образом можно проанализировать и остальные пары, и тогда мы с вами получим следующую таблицу вероятности выигрыша первого игрока:

222.png

Здесь желтым отмечено наибольшее значение в каждой строке, и всюду оно не меньше 2/3. Это означает, что при любом выборе цепочки значений второго игрока мы можем выбрать такую цепочку, что вероятность нашего выигрыша будет не менее 2/3! Что ж, в этот раз проблема решена полностью – на любой выпад противника у нас есть достойный ответ, или, как принято говорить в теории игр, мы с вами нашли оптимальную выигрышную стратегию!