Запись №1. Про единицы

Запись №1. Про единицы

Здравствуйте!

Сегодня на портале мы открываем раздел «блог», где будем еженедельно публиковать забавные математические истории и полезные советы о том, как лучше справляться со строптивой математической наукой.

Люди в течение многих тысяч лет приручали цифры и прочие математические объекты так же, как они приручали домашних животных и окультуривали растения. Человек добивался от них пользы. Вы читаете эти строки с экрана своего компьютера или смартфона благодаря труду тысяч математиков, которые дали прочим ученым и инженерам могучий инструмент для познания природы. Математика — это живой и причудливый мир, местами настолько причудливый, что это кажется граничащим с безумием.
В первом посте мы расскажем, конечно, про единицу. Точнее, про много-много единиц и про то, как они странно ведут себя, собравшись вместе в большом количестве.

Раз дощечка, два дощечка...

В начале XVIII века итальянский монах-камальдолиец Луиджи Гвидо Гранди проделал ряд простых манипуляций с единичками, и получил результат, вызвавший удивление и ожесточённые споры в математическом сообществе. Удивлялись и спорили математики еще двести лет — настолько странными показались коллегам выкладки Гранди. Всё начиналось со сложения и вычитания.
Возьмём единицу и прибавим к ней минус единицу. Иными словами, отнимем 1 от 1:

1+-1=1-1=0 Получим 0. Теперь к первому выражению прибавим еще единицу:
1-1+1=1 Получаем 1. Теперь снова отнимем единицу от этого выражения, потом опять прибавим, и продолжим так до бесконечности:

Подобные последовательности из бесконечного числа слагаемых называются рядами. Сумма n первых членов называется частичной суммой ряда. Если n стремится к бесконечности, а в итоге получается некоторая конечная сумма, то говорят, что ряд сходится к этой сумме. Если же получается бесконечность, неважно, с каким знаком, ряд называют расходящимся. Самое интересное происходит между этими двумя крайностями. Тут существуют условно сходящиеся ряды. У них есть потрясающее свойство (доказанное Бернхардом Риманом) сходиться к любой сумме. Подробнее о сходимости рядов — под катом:

С рядом связаны две числовые последовательности: последовательность частичных сумм n первых членов ряда (здесь и далее aii-й элемент ряда): sn=i=1nai и остатков ряда: rn=i=n+1ai Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел S его частичных сумм sn при неограниченном возрастании n: limnsn=limni=1nai=S Соответственно, остаток сходящегося ряда при n стремится к нулю: limnrn=0.
Если предел частичных сумм бесконечен или не определён, ряд расходится. У абсолютно сходящихся рядов сходятся также ряды, составленные из абсолютных значений (модулей) членов такого ряда. У условно сходящихся рядов ряд из абсолютных значений их членов не сходится.
Выяснить сходимость ряда — первая задача при его изучении. Иногда это бывает непросто. Для определения сходимости математики разработали ряд приемов, которые называются критериями сходимости: для положительных рядов, для знакочередующихся, для знакопеременных.

Ряды записывают красивыми, внушительным формулами с оператором суммирования — большой греческой буквой «сигма»:

S=n=0-1n

Под сигмой пишут начальное значение переменной, над сигмой — конечное, а справа от знака стоит формула, по которой проводят суммирование. В нашем случае мы имеем знакочередующийся ряд, который, строго говоря, расходится. Почему:

по определению. Он даже не условно сходящийся: у частичных сумм этого ряда отсутствует предел. А ряд, составленный из абсолютных значений членов ряда — т.е. сумма бесконечного числа единиц — расходится.
Тем не менее, его сумму можно определить, что и проделал Луиджи Гранди.

Любит — не любит?

Если внимательно посмотреть на выражения выше и картинку, то можно отметить, что значение S зависит от того, где мы остановимся, проводя суммирование. Когда мы складываем нечётное число членов нашего ряда, то получаем 1. А когда чётное — то 0.

Где же мы в итоге остановимся, на чётном или нечётном слагаемом? Ни там, ни там. Ведь, чтобы получить полную сумму ряда, нам нельзя останавливать суммирование никогда. Бесконечность не чётная и не нечётная. И где-то там, в бесконечности, сумма как будто мерцает между нулём и единицей.
Чтобы найти ответ, отнимем от 1 нашу полную сумму S:

1-S=1-1-1+1-1+1-1+=1-1+1-1+1-1+1-1+=S.

Получившийся ряд совпадает с исходной суммой: 1-S=S. Это нормально, ведь теперь у нас есть простейшее уравнение, решив которое (смотрите, мы впервые воспользовались чем-то посложнее сложения или вычитания, т.е. делением) обнаружим, что

S=12.

Вот так-то. Сложили бесконечное число целых чисел, а получили дробь! Было из-за чего математикам в XVIII веке возмутиться. Когда всё проверили и перепроверили, даже самые упрямые нашли в этом смысл. А злополучный ряд назвали рядом Гранди.

То тухнет, то гаснет

С рядом Гранди связан парадокс «Лампа Томсона». Это более технологичный вариант апории Зенона про Ахиллеса и Черепаху. Автор — американский философ середины XX Джеймс Томсон.
Формулировка его такова: горит лампа, которую выключают спустя минуту. Затем, через еще полминуты, включают. Спустя четверть минуты снова выключают. Спустя еще 1/8 минуты — опять включают. И так далее. Вопрос: включена или выключена будет лампа ровно через 2 минуты? Математически, задача сводится к нахождению суммы ряда Гранди.

Сам Томсон, хотя и знал о том, что ряду Гранди можно приписать сумму 1/2, говорил, что разрешить его парадокс невозможно. А вы что думаете?