Пицца для математиков

Сегодня мы приветствуем всех наших читателей и приглашаем на самую настоящую математическую вечеринку! В программе – пицца, и никаких задач и решений, вы можете это себе представить?

Разумеется, нет – ни одна вечеринка математиков не обходится без выдвижения гипотез или доказательства какой-нибудь формулы – такова деятельная натура ученых. Посмотрите: пиццу только что доставили, а над одной из коробок уже собрался целый консилиум. Кажется, они говорят что-то про ровный и круг и линии на плоскости… Давайте выясним, что произошло?

Оказывается, эту пиццу забыли разрезать на стандартные 8 кусочков в пиццерии. Не беда – на вечеринку предусмотрительные хозяева приготовили специальный нож-колесо, как раз чтобы было удобно резать пиццу по прямым линиям. Тогда что стало причиной спора? О, представляете, один из математиков, мистер Торнтогг, считает, что разрезать пиццу на 8 кусков четырьмя разрезами – слишком сложно! Он уверяет, что можно справиться тремя, но все еще не смог придумать, как именно. У мистера Торнтогга нашлись оппоненты, которые пытаются доказать, что меньше, чем четырьмя разрезами, справиться не получится, однако они тоже еще не смогли доказать свою точку зрения. Противостояние набирает обороты – еще немного, и в ход пойдут жалящие цифры и уничтожающие противника формулы, а вечеринка будет испорчена!

Что же нам делать? Примирить спорщиков между собой сможет только строгое доказательство, с которым согласятся все участники. Нам нужна ваша помощь! Поможете нам спасти праздник?

Вспомним, что мы имеем в условии задачи: нам дана пицца в форме ровного круга и нож-колесо, которым можно резать только по прямой. Сколько разрезов понадобится, чтобы разрезать пиццу на заданное количество частей? Или, может быть, проще будет ответить на другой вопрос – какое максимальное число кусков можно получить за заданное количество разрезов?

Начнем с начала: с неразрезанной пиццы. В начале мы имеем 1 кусок и 0 разрезов. Так и запишем. Теперь мы можем добавить один разрез: он разделит пиццу на 2 части. Добавим второй разрез: и кусков получится уже либо 3, либо 4. От чего это зависит? Ищем ответ с геометрической точки зрения: все очень просто! Если две прямые – два разреза – пересекаются, то кусков становится 4, а если нет – то три. Продолжим цепочку, чтобы установить закономерность. Добавляем третий разрез. Если все это время мы резали пиццу параллельно, то третий разрез просто отсечет еще один кусок – четвертый. А вот если новым разрезом мы пересечем один из предыдущих, то новых кусков появится два, так как новым разрезом мы заденем два уже существующих кусочка. Точно такая же цепочка утверждений верна и для случая, когда новый разрез пересечет два уже существующих – модифицированных кусочков окажется три, если, разумеется, не пересекать все три разреза в одной точке.

Что ж, теперь, присмотревшись к нашим рассуждениям внимательнее, уже можно заметить закономерность! Каждый n-ный разрез добавляет к нашей картине не больше, чем k + 1 кусочков, где k – число уже сделанных разрезов, то есть, n – 1 – итого выходит не более n новых кусочков. Получается, что для того, чтобы найти максимальное число частей, на которые можно разрезать пиццу n разрезами, нужно сложить последовательно количество кусков, которые добавлялись на каждом этапе: 1 был изначально, первым разрезом можно было добавить максимум 1, вторым – максимум 2, третьим – максимум 3… Что в итоге получилось?

Конечно, вы абсолютно правы – формула напоминает формулу суммы членов арифметической прогрессии, которая нам с вами хорошо известна. Вуаля! И формула максимального числа кусочков пиццы, которое можно получить за n разрезов, найдена! Подставим в нее число разрезов, равное трем: оказывается, больше семи кусочков мы так не получим. Мистер Торнтогг признал свое поражение – математики тоже могут совершать ошибки.

К счастью, после решения спора так и не разрезанная пицца вскоре была забыта: в зал наконец-то вынесли торт! Высокий, круглый, со специальным плоским широким ножом для резки строго в одной плоскости… Подождите-ка. Это ведь и есть наша задача, в которую просто добавили еще одно измерение! Должно быть, эта тема надолго станет любимой среди математиков, однако это уже совсем другая история… А может, и нет – попробуйте решить трехмерный вариант задачи сами!