БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
Полуночные задачи и абсурдные выводы

Полуночные задачи и абсурдные выводы

Когда заходит речь о математической литературе, первое, что приходит в голову – это, должно быть, многотомные учебники со строгими доказательствами теорем или, в лучшем случае, задачники, содержащие однотипные упражнения. Но, поверьте, развлекательных книг по математике существует ничуть не меньше! Сегодня речь пойдет об одном известном сказочнике, у которого было очень занимательное хобби – он коллекционировал головоломки. Внимательные читатели, наверное, уже догадались, что наш сегодняшний герой – это Льюис Кэрролл, автор знаменитой сказки в жанре абсурда «Алиса в Стране чудес». Как вы думаете, проникли ли парадоксы и абсурдные выводы в другие его произведения?

В книге Льюиса Кэрролла «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы» есть очень любопытное рассуждение. Сама задача звучит достаточно просто. Итак, допустим, что у нас есть мешок, в котором лежат два шара, про каждый из которых известно, что он либо черный, либо белый. Нужно установить, какого цвета шары, не вынимая их из мешка. Казалось бы, задача неразрешима – данных недостаточно для ответа, это очевидно! Однако, если мы пролистаем книгу чуть дальше, мы найдем не только ответ – оказывается, шары обязательно будут разных цветов – но и подробное решение этой головоломки! Для этого автор использует «волшебную» силу теории вероятностей. Давайте попробуем разобраться.

В первую очередь рассмотрим не два шара в мешке, а три. Мы вытащим из мешка черный шар с вероятностью 2/3 только в том случае, если в мешке два черных шара и один белый. Это нетрудно проверить, посчитав вероятность для всех остальных комбинаций цветов.

Теперь вернемся к условию задачи. Исходя из того, что каждый шар в мешке может быть черным или белым с равными вероятностями, мы можем сказать, что с вероятностью 1/4 в мешке два белых шара, с вероятностью 1/2 – два шара разных цветов и с вероятностью 1/4 – два черных шара (*). Добавим в мешок черный шар. Тогда с теми же вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 в мешке будут комбинации «белый-белый-черный», «белый-черный-черный» и «черный-черный-черный». Давайте теперь посчитаем, с какой вероятностью взятый наугад из мешка шар окажется черным. Используем формулу полной вероятности: (1/3 * 1/4) + (2/3 * 1/2) + (1 * 1/4) = 2/3. Знакомое значение? Действительно, учитывая первое замечание, мы получим, что в мешке находятся два черных шара и один белый, а так как один черных шар был добавлен в мешок, то первоначально в нем находились шары разного цвета.

Так заканчивается доказательство Льюиса Кэрролла, но здравый смысл подсказывает, что где-то скрывается ошибка. Это действительно так, и, прежде чем читать дальше, попробуйте рассмотреть рассуждения выше еще раз – возможно, вам удастся поймать ошибку самостоятельно!

Итак, в чем же заключалась логическая ловушка? Как ни странно, в первом же замечании. Совершенно справедливо было отмечено, что из заранее заданных комбинаций черного и белого для получения итоговой вероятности, равной 2/3, подходит только одна. Учитывая, что вероятность достоверного события равна 1, эти варианты распределения вероятностей можно изобразить следующим образом:

1.png    2.png    3.png   4.png

Соответственно, вероятность достать черный шар из мешка равна 2/3 только для третьего графика. Но теперь, когда варианты цвета шаров представлены таким образом, становится очевидно, что их гораздо больше, чем представлено на графиках выше, просто для других вариантов конкретное распределение черного и белого не будет достоверным событием. Например, вероятность может быть распределена следующим образом:

5.png

И самое интересное: именно этот вариант распределения мы рассматривали выше – в рассуждениях это место отмечено звездочкой. По графикам хорошо видно, что, несмотря на совпадающие результаты, в разных местах рассуждений мы рассматривали разные ситуации, а потому делать вывод о совпадении цвета шаров в мешке нельзя.

Впрочем, сам Льюис Кэрролл не отрицал возможность найти ошибки в его полуночных рассуждениях. «Надеюсь, – писал он, – что радость открытия ошибок и испытанное при этом чувство интеллектуального превосходства над автором вознаградят счастливца за потраченное время и беспокойство.»