Методы решения тригонометрических уравнений. Подведение итогов

Здравствуйте!

Мы вплотную подошли к решению задачи № 13 варианта КИМ ЕГЭ. Постараемся, чтобы результаты наших занятий на этой неделе обеспечили вам один первичный балл за задачу №13 — вспомним и применим на практике основные методы решения тригонометрических уравнений.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Сведение к квадратному уравнению

Начнем мы с самого простого метода, когда тригонометрическое уравнение с помощью замены переменных сводится к квадратному (в общем случае — рациональному) уравнению. Но и здесь есть свои особенности и подводные камни. Посмотрим, как их избежать.

2. Разложение на множители

Нередко при решении тригонометрических уравнений используется такой прием, как разложение на множители. Здесь можно использовать и группировку, и вынесение общего множителя за скобку, и применять формулы сокращенного умножения к формулам тригонометрии.

3. Однородные тригонометрические уравнения

Очень важный тип тригонометрических уравнений — однородные. Что это за уравнения и как их решать, смотрите в видеолекции.

Попробуйте свои силы в применении основных методов решения тригонометрических уравнений для решения задач, которые могут встретиться вам на экзамене.
Для решения этих уравнений вам понадобятся три основных метода, которые мы рассмотрели выше. Ответы, как обычно, под спойлерами.

Условие	Ответ
Сведение к квадратному
Решить уравнение $2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\left(x\right)+7\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x\right)=4$	$x={\left(-1\right)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\mathrm{ϵ}\mathbb{Z}$
Решить уравнение $3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+3=4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x$	$\begin{array}{c}{x}_1=\pi +2\pi k,k\in Z,\\ x_2=\pm \arccos \left(\frac{1}{4}\right)+2\pi n,n\in Z\end{array}$
Решить уравнение $2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=2.$	$\begin{array}{c}{x}_1=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\\ x_2=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\end{array}$
Разложение на множители
Решить уравнение $2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x+5\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2x\right)=0$	$x_1=\pi k,k\mathrm{ϵ}\mathbb{Z}$ $x_2=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(-5\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$
Решить уравнение $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(5x\right)-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(3x\right)=0$	$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_1=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in Z,\\ x_2=\pi n,n\in Z\end{array}\end{array}$
Решить уравнение $2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\left(x\right)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(x\right)=2.$	$\begin{array}{c}{x}_1=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\\ x_2=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\end{array}$
Однородные уравнения
Решить уравнение $3{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}x+4\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2x=0$	$\genfrac{}{}{0pt}{}{x_1=\pi /2+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathbb{}\mathbb{}}{x_2=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(-\frac{3}{8}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}}$
Решить уравнение $\frac{-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+7\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}{3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x-8\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}=\frac{8}{3}$	$x=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{3}{61}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$
Решить уравнение ${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x+3\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2x-7{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}x=0$	$\begin{array}{c}{x}_1=arctg\left(-7\right)+\pi n,n\in Z\\ x_2=\pi /4+\pi k,k\in Z\end{array}$
Решить уравнение $17{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x-37\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2x+6{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}2x=0$	1 случай x=-1narcsin⁡16+πn, n∈Z 2 случай x=-1narcsin⁡-1+32+πn, n∈Z

Для «продвинутых» слушателей нашего курса мы предлагаем еще несколько методов решения тригонометрических уравнений.

Уравнения вида $\mathit{f}\left(\mathbf{sin}\mathit{x}\pm \mathbf{cos}\mathit{x};\mathit{}\mathbf{sin}\mathit{x}\cdot \mathbf{cos}\mathit{x}\right)=0$

Метод вспомогательного аргумента

Универсальная тригонометрическая подстановка

Смотрите слайды под катом:

Уравнения с тангенсами и котангенсами

В уравнениях с тангенсами и котангенсами появляется область допустимых значений аргумента, которая влияет на отбор корней: для тангенса cos(x) ≠ 0, т.е. x ≠ πn/2, для котангенса sin(x) ≠ 0, т.е. x ≠ πn

Использование формул преобразования произведения в сумму и суммы в произведение

И несколько задач посложнее, для тех, кто не ограничился тремя основными методами, а захотел узнать больше.

Условие	Ответ
Уравнения вида $\mathit{f}\left(\mathbf{sin}\mathit{x}\pm \mathbf{cos}\mathit{x};\mathit{}\mathbf{sin}\mathit{x}\cdot \mathbf{cos}\mathit{x}\right)=0$
Решить уравнение $1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=\frac{1}{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2x$	$x_1=\pi +2\pi k, k\in \mathbb{Z}$ $x_2=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}$
Решить уравнение $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x={\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\right)}^2$	$x_1=2\pi k, k\in \mathbb{Z}$ $x_2=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$
Решить уравнение $4\left({\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{3}x+{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{3}x\right)={11\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\right)}^2$	1 случай $x\in \varnothing$ 2 случай $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$ 3 случай $x={-\frac{\pi }{4}+\left(-1\right)}^k\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z}$
Метод введения вспомогательного аргумента
Решить уравнение $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=\sqrt{3}$	$x_1=\frac{\pi }{3}+2\pi k, k \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$ $x_2=2\pi n,n \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$
Решить уравнение $3\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x\right)-4\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)=5$	$x=\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)+2\pi n, n \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$
Решить уравнение $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)+{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\left(x\right)=\mathrm{1,2}$	$x=\frac{\pi }{8}\pm \arccos \left(-\frac{\mathrm{1,4}}{\sqrt{2}}\right)+\pi n, n \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$
Универсальная тригонометрическая подстановка
Решить уравнение $2\mathrm{tg}\frac{x}{2}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+5\cos x+3=0$	$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$
Решить уравнение $\mathrm{tg}\frac{x}{2}+1=2\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\cos x\right)$	$x_1=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$ $x_{\mathrm{2,3}}=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(-2\pm \sqrt{3})+2\pi n, n \mathrm{ϵ} \mathbb{Z}$
Решить уравнение $3\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+4\left(1+\cos x\right)+3\mathrm{tg}x=0$	$x_1=-2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{2}+2\pi k,k \mathrm{\in } \mathbb{Z}$ $x_2=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2+2\pi n,n \mathrm{\in } \mathbb{Z}$ $x_3=\pi +2\pi m, m\in \mathbb{Z}$

Если вам не удалось решить все уравнения — не беда. Попробуйте еще раз, но уже с подсказками пошагового тренажера. Тренажер проведет вас по шагам решения, подскажет, что нужно сделать, проверит промежуточные вычисления и окончательный ответ.

Перейти в Библиотеку   Выбрать вариант подписки

Нам осталось рассмотреть последний и очень важный для решения задачи №13 вопрос — какие бывают условия для отбора корней тригонометрического уравнения и как выбрать подходящий для конкретного условия способ отбора. Это тема наших занятий на следующей неделе.

Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!