Повод выйти за рамки

Вы когда-нибудь хотели заглянуть в будущее? Должно быть, у каждого в списке заветных желаний окажется такой пункт – пускай и не на первом месте. Неудивительно, что изобретается все больше способов приоткрыть завесу тайны, и с одним из них вы наверняка знакомы. Да, это печенье с предсказаниями!

Казалось бы, какое отношение сомнительные ингредиенты в выпечке имеют к математике? Вы удивитесь, но на эту тему существует потрясающая задача, которая дает нам тот самый повод выйти за рамки. А вот за рамки чего – узнаем в процессе решения!

Прежде всего стоит отметить, что печь мы с вами будем не печенье, а блины. Причем по традиции всех математических допущений – идеально круглые. Сковороду нужно взять радиусом 10, а в качестве сомнительной начинки сегодня послужит обычная монета радиуса 1. Запечь ее нужно будет так, чтобы дегустатор не мог понять, где именно она находится. Итак, теперь основной вопрос задачи: каким наименьшим числом прямолинейных разрезов дегустатор наверняка заденет монету?

Давайте проанализируем один разрез: ему отвечает полоса ширины 2, которая является множеством возможных центров монеты, задетой этим разрезом:

А вот сейчас нужно быть внимательнее: каково множество всех возможных центров монеты? Так как монету нужно было спрятать полностью, ее центр не может находиться к краю блина ближе, чем на расстоянии ее радиуса. Поэтому задачу в итоге можно переформулировать так: сколько полос шириной 2 потребуется, чтобы полностью закрыть круг радиусом 9?

Интуитивно понятно, что девятью полосами мы точно сможем покрыть такой круг: разрезы нужно делать параллельно на расстоянии 2 друг от друга, причем от края блина также нужно отступить на 2, то есть от края последнего нашего круга – на радиус монеты.

Но разве мы можем утверждать, что никаким другим образом нельзя обойтись, например, всего восемью разрезами или полосами? Чтобы это доказать, нам с вами предстоит наконец-то выйти за рамки – за рамки плоскости – и рассмотреть задачу в пространстве!

Построим на круге радиуса 9 сферу как на диаметральной плоскости. Теперь по прямым, ограничивающим полосы, восстановим плоскости, перпендикулярные к диаметральной. Получается, что мы должны закрыть полосами уже не круг, а площадь сферы. И вот здесь нам на помощь приходит замечательное свойство – площадь сферы, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими сферу, зависит только от расстояния между этими плоскостями (для любителей геометрии: докажите это замечательное свойство!). Разрежем сферу на девять полос так же, как мы это сделали с кругом. Теперь очевидно, что «слой» ширины 2 никак не может покрывать больше 1/9 части площади сферы. Но ведь для любой точки сферы есть соответствующая точка на круге, поэтому сферу обязательно «закрыть» полностью.

Итак, мы с вами привели пример для девяти разрезов и доказали, что меньшим их числом не обойтись. Задача решена, и решена необычным на первый взгляд, но очень действенным в некоторых случаях образом – методом «выхода в пространство». Что ж, теперь вы знаете, что делать, если возникнет повод выйти за рамки!