Про математику и знаки препинания

Чтобы записывать формулы и теоремы коротко и понятно, математики используют свой особый язык условных обозначений. Многие его символы вам уже известны – те же плюс и минус, знаки «больше», «меньше», «равно» и многие другие. И, хотя большая часть символов этого алфавита уникальна, математики нередко используют всё, что приходит им в голову – во имя науки!

В качестве минуса можно использовать тире или дефис, двоеточие нередко превращается в знак деления, точку можно встретить и как десятичный знак, и как знак умножения. Но знаете ли вы, зачем математики используют восклицательный знак? Конечно, для факториала!

Начнем с того, что такое факториал. Для натуральных чисел факториал определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Для нуля факториал определяют дополнительно как 0! = 1. Эта функция используется, прежде всего, в комбинаторике, для подсчета числа сочетаний, расстановок и похожих задач. Значение факториала очень быстро увеличивается с ростом n – обгоняет и степенные, и показательные функции, хотя все же не является рекордсменом, ведь, например, функция  растет еще быстрее. Факториал десяти уже превосходит 3 миллиона, в числе 50! 65 цифр, а факториал числа 3249 содержит 10 000 цифр!

Из-за таких больших значений в олимпиадных задачах с факториалом обычно не только нельзя пользоваться простым перебором, но даже вычислять факториалы, данные в условии, нет никакого смысла. Приходиться полагаться только на знание свойств и логику – готовы встретиться с факториалами лицом к лицу?

На самом деле, наша задача на сегодня состоит из одного вопроса. При каком наибольшем натуральном m число m!×2022! будет факториалом натурального числа?

Конечно, вычислять 2022! очень сложно и абсолютно бесполезно. Попробуем проанализировать это число как есть – в виде факториала. Так как факториал – это произведение всех чисел от нуля до самого числа, то мы можем домножать 2022! на 2023, затем на 2024, и так далее – это все еще будет факториал, но уже последующих чисел. Этот дополнительный множитель мы можем взять сколь угодно большим – перемножить все числа от 2023 до любого выбранного нами. Однако будет ли такое произведение факториалом натурального числа? Ведь это значение – еще не искомая переменная m, а ее факториал.

Попробуем зайти с другой стороны: можно ли ограничить сверху этот множитель «m!»?  Главное условие – число m! × 2022! является факториалом натурального числа. Чтобы найти недопустимые значения для m!, запишем отрицание этого условия: данное произведение должно лежать между факториалами соседних чисел.

Очевидно, что  m! × 2022! строго больше m!. Будет ли (m+1)! превосходить это произведение? (m+1)! отличается от m! на множитель (m+1), а  m! × 2022! – на множитель 2022!. Получается, что в случае (m+1) > 2022! то самое произведение из условия получается как раз между факториалами двух натуральных соседних чисел. Мы нашли верхнюю границу:

Наибольшее возможное m по нашим расчетам оказалось равным (2022! – 1). Теперь нужно проверить, окажется ли оно подходящим?

Является ли такое выражение факториалом натурального числа? Так много восклицательных знаков! Давайте разбираться. Смотрите: число 2022 не встречается в выражении без знака факториала, поэтому мы можем обозначить 2022!, например, как y:

Стало понятнее? Теперь мы можем ясно видеть, что записан факториал числа y, то есть (2022!)!. Вот такое интересно двойное восклицание – задача решена!