Про наблюдательность настоящего математика

Однажды Борис Иванович Кордемский, известный популяризатор математики и автор книг и учебников, прогуливался в порту славного города Севастополя. Стояли у причала корабли и маленькие лодочки, лежали свернутые бухты канатов. Казалось бы, откуда здесь взяться красивой математической задаче? Но ведь настоящий математик замечает числа и их закономерности везде: оказалось, что узлы на канатах пронумерованы и окрашены в белый и красный цвета. Нам неизвестно, для чего на самом деле служили такие канаты, но для Бориса Ивановича они стали основой задачи, которую позже многие школьники решали на математических кружках и олимпиадах, а мы с вами решим сейчас!

Итак, давайте представим канат координатной прямой. Пусть каждый узел на нем – это целое число, покрашенное в один из двух цветов: красный или белый. Так как канат был свернут, Борису Ивановичу удалось разглядеть только два номера: 2016 узел оказался красным, а 2017 – белым. Но даже с таким минимумом информации советский математик смог высчитать, всегда ли можно найти три таких узла каната одного цвета, что соответствующие им целые числа в сумме дадут ноль. Теперь этот непростой вопрос стоит перед нами!

Как принципиально решаются такие задачи вы, наверное, уже догадались: если в вопросе есть слова «Всегда ли», значит, можно смело начинать решение с противоположного предположения. Построим отрицание: получится, что существует такая раскраска каната, что любые три числа-узла, окрашенные в один цвет, никогда на дают в сумме ноль. Что ж, будем считать, что перед нами канат именно такой расцветки. Что можно про него сказать? Важной точкой в нашем случае является ноль, но у нас нет про его цвет никакой информации. Давайте рассмотрим два варианта: 1) нулевой узел окрашен в белый цвет и 2) нулевой узел окрашен в красный цвет.

Начнем с белого цвета. Кроме нуля, в белый цвет окрашен еще и 2017 узел. Наше предположение гарантирует, что трех чисел одного цвета, дающих в сумме ноль, на нашем канате нет, а значит, узел с числом -2017 окажется красного цвета. А теперь следите за цепочкой утверждений: мы сможем восстановить почти всю покраску каната! Так как -2017 + 2016 + 1 = 0 и узлы 2016 и -2017 красные, то узел 1 будет белым. Так как -1 + 0 + 1 = 0 и узлы 0 и 1 белые, то -1 – красный. Так как 2016 - 2015 - 1 = 0 и узлы 2016 и -1 красные, то узел -2015 – белый. Так как -2015 + 2015 + 0 = 0 и узлы -2015 и 0 белые, то узел 2015 – красный. Так как 2015 - 2017 + 2 = 0 и узлы -2017 и 2015 красные, то узел 2 – белый. Тогда узел -2 – красный по тому же правилу. Смотрите, что у нас получается:

И… самое время искать противоречие! Видите, что белый цвет постепенно окрашивает положительные числа от нуля, но 2016 и 2015 узлы – красные? Давайте обозначим за N наименьшее положительное число с узлом красного цвета – такое точно существует, хотя бы 2015. Тогда, разумеется, предыдущий узел N-1 – белый, он тоже существует и больше 1. Так как (N-1) + 0 - (N-1) = 0, а узлы 0 и (N-1) – белые, то узел -(N-1) должен быть красным. Момент истины: -(N-1) + N - 1 = 0, все три узла в равенстве красные и гарантированно различны! Мы нашли противоречие, поэтому предположение о том, что существует нужная раскраска каната, неверно.

Однако нужно вспомнить еще один нюанс: мы предполагали, что нулевой узел каната окрашен в белый. Теперь придется разобрать и второй случай – с красным нулем. Он почти абсолютно аналогичен первому – по цепочке аналогичных рассуждений получим следующую картину:

Похожим образом получаем и контрпример. Обозначим за -М наибольший отрицательный узел белого цвета – он точно существует (хотя бы -2015) и при этом М > 2. Тогда узел -(М-1) – красный. Действуем по той же схеме: так как -(М-1) + 0 + (М-1) = 0 и узлы 0 и -(М-1) красные, то узел (М-1) должен быть белым. Однако (М-1) + (-М) + 1 = 0 и все три узла в этом равенстве белые, а значит, и в этом варианте предположение о том, что существует нужная раскраска каната, неверно.

Итак, мы с вами рассмотрели канат очень тщательно и пристально со всех сторон и готовы объявить: найти три таких узла каната одного цвета, что соответствующие им целые числа в сумме дадут ноль, можно всегда! Будьте уверены: Борис Иванович с нами бы согласился и поздравил бы вас с тем, что теперь вы умеете решать даже олимпиадные задачи!