Про вражеский десант и геометрическую вероятность

До чего дошел прогресс: искусственный интеллект сегодня используется буквально везде! С нами человеческими голосами разговаривают мультиварки и чайники, а колонки сами подбирают плейлисты – неудивительно, что технологии докатились и до… разведки! Наверняка вам знакомо выражение «Я б с тобой в разведку не пошел», и вы представляете, насколько это сложное и опасное дело – но в 21 веке и эту работу за человека научились делать роботы. Но как? Как роботы выбирают модель поведения и выполняют задачи? Вы не поверите – даже здесь все работает на принципах теории вероятности.

Сегодня мы с вами поставим перед роботами совсем простую задачу. На границу между государством А и государством Б будут десантированы по одному роботу с каждой стороны. Неизвестно, куда именно попадут роботы – но они точно должны приземлиться на обозначенном на карте 10-километровом участке границы, причем в любой его точке с равной вероятностью. В этот раз в задачу роботов не входит углубление на территорию другой страны – разведка проводится только на границе, поэтому каждый из роботов равновероятно выбирает одно из двух направлений вдоль нее. Механизмы не знают усталости, поэтому движутся с постоянной скоростью – модель, которую используют в государстве А, имеет скорость 4 км/ч, а модель из государства Б – 5 км/ч. На разведку роботам отводится всего лишь час. А теперь – самая главная часть задачи! Конечно же, поставленный вопрос: с какой вероятностью за этот час роботы встретятся?

На первый взгляд, задачка напоминает начальную школу: помните, движение навстречу, вдогонку и с отставанием? Пора вспомнить все эти схемы со стрелочками! Сразу учтем, что роботы должны встретиться, поэтому отставание и движение в противоположных направлениях нас не интересуют. 

Для удобства представим границу в виде оси координат – тогда роботы могут двигаться только в положительном или отрицательном направлениях, и пусть обозначенный на карте участок границы начинается в нуле – тогда координаты десантирования роботов будут находиться на отрезке [0, 10].

Теперь, со всеми введенными обозначениями, попробуем перебрать все варианты направлений движения, при которых роботы могут встретиться. Во-первых, это, конечно, движение навстречу в двух вариантах: робот А приземлится ближе к началу координат, чем робот Б, и при этом робот А движется в положительном направлении, а робот Б – в отрицательном, и прямо противоположная ситуация. Во-вторых, движение вдогонку – так как робот Б быстрее, «позади» должен находиться именно он, но двигаться они могут в двух направлениях, поэтому здесь тоже два варианта: координата робота А меньше, и роботы движутся в отрицательном направлении, или координата робота А больше, и они движутся в положительном направлении. Всего 4 варианта, нам повезло! Изобразим их на схемах:

Так как каждый робот выбирает один точно определенный нами для каждой картинки вариант направления из двух, то итоговая вероятность заданного набора направлений уже для двух роботов будет равна 1/2 × 1/2 = 1/4. Нет, складывать их нельзя! Нам еще предстоит разобраться с первоначальным расположением роботов.

Итак, со скоростями мы определились, время – один час – нам задано. Теперь поднимаем вопрос о расстоянии. Для случаев 1 и 3 мы имеем дело с движением навстречу: вычисляем скорость сближения 4 + 5 = 9 км/ч, умножаем на время и – вуаля! – получаем, что для встречи роботы должны находиться на расстоянии не более 9 километров. Для случаев 2 и 4 вычисляем скорость сближения по правилу движения вдогонку: 5 – 4 = 1 км/ч, умножаем на время и получаем, что в этих случаях между роботами должно быть не более 1 километра. Осталось самое сложное – как посчитать вероятность того, что между роботами будет определенное расстояние?

На самом деле, так вопрос ставить некорректно, вероятность конкретного расстояния мы с вами посчитать не сможем – она исчезающе мала, так как возможных вариантов расположения роботов бесконечно много. Но! На помощь нам приходит вторая часть заголовка – и вы уже догадались, что в очередной раз мы с вами используем геометрическое определение вероятности. 

Начнем с первого случая. У нас с вами есть отрезок [0, 10] – множество всех возможных исходов. Пусть робот А окажется в точке 0. Тогда для робота Б множество благоприятных исходов – это оказаться от робота А не дальше 9 километров, то есть отрезок [0, 9]. Но если мы переместим робота А в точку 10, то таким множеством будет уже отрезок [1, 10]. Получается, нужный нам отрезок зависит от случайной величины – положения робота А. И наоборот, если мы захотим найти отрезок благоприятных исходов для робота А, он будет зависеть от положения робота Б. Так что же делать? 

У нас с вами задаются две случайные величины на одном отрезке – и для такого случая уже есть специальный прием решения, изобретать велосипед нам с вами не придется. Нужно всего лишь перейти в следующее измерение: откладывать координаты роботов по разным осям координат! Квадрат 10×10 станет множеством всевозможных исходов уже не одного десанта, а двух – соответствующие координаты каждой точки будут задавать положение двух роботов. Давайте попробуем: прямая А = Б отвечает случаю, когда роботы приземлились в одной точке. Точки на прямой А = Б – 9 задают координаты роботов, если робот Б приземлился на 9 километров дальше от нуля, чем А, и, соответственно, на прямой А = Б + 9 если Б приземлился на 9 км ближе А. Получается, между прямыми А = Б и А = Б – 9 точки таковы, что роботы находятся не дальше 9 км друг от друга, а расположение соответствует случаю 1, а между прямыми А = Б и А = Б + 9 точки также таковы, что роботы находятся не дальше 9 км друг от друга, но расположение соответствуют случаю 3. Мы нашли множество благоприятных исходов! Осталось по отношению площадей вычислить вероятность: число голубых клеток делим на число всех клеток, получаем (50 – 0.5)/100 = 0.495.

Рассмотрим два оставшихся случая. Во втором случае робот Б должен быть дальше робота А, но не более, чем на 1 км. Получается, искомая фигура заключена между прямыми А = Б и А = Б – 1. В четвертом случае роботы расположены наоборот: Б ближе к нулю не более чем на 1 км. Строим отрезки и считаем вероятность: в обоих случаях получаем 19×0.5 / 100 = 0.095.

Мы разбрали все случаи, осталось только правильно сложить полученные значения. По формуле полной вероятности нам нужно умножить вероятность каждого варианта выбора направлений на вероятность соотвествующего начального расположения двух роботов:

1/4 × 0.495 + 1/4 × 0.495 + 1/4 × 0.095 + 1/4 × 0.095 = 0.295

Получаем, что с вероятностью 29.5% роботы встретятся. Поздравляем: задача разведки решена!