Путь муравья

Наверное, каждый из нас помнит муравья как самого трудолюбивого героя детских сказок – еще бы, он может унести в одиночку груз в 50 раз тяжелее его самого, и это научный факт! Но знаете ли вы, что эти трудолюбивые насекомые пробрались гораздо дальше – в условия математических задач?

Итак, сегодня мы с вами встретим муравья в описании очень интересного математического парадокса. Ему предстоит пройти по эластичной резиновой веревке длиной ровно 1 километр. К сожалению, скорость муравья соответствует его размерам – он проползает 1 сантиметр в секунду. Конечно, рано или поздно трудолюбивый муравей доползет до конца, и можно даже высчитать точное время, за которое он достигнет второго конца веревки. Однако, как и всегда в парадоксах, не все так просто. Эластичная веревка растягивается каждую секунду на еще 1 километр – гораздо больше, чем успевает пройти муравей. Здравый смысл подсказывает, что в таком случае дойти до конца муравью не удастся, но так ли это на самом деле?

Давайте представим себе такую схему: пусть муравей стоит посередине веревки. Если мы ее растянем в обе стороны одинаково, муравей останется на месте, не так ли? Он все еще будет посередине. Точно также можно рассуждать и тогда, когда веревка растягивается в одну сторону, ведь растягиваются обе ее части – в том числе уже пройденный муравьем путь, и муравей останется на ее середине. Мы можем утверждать, что при растягивании веревки не меняется доля уже пройденного пути, и именно на этом строится этот математический парадокс.

В первую секунду муравей пройдет 1 см из 1 км, то есть 1/100 000 часть пути. Во вторую секунду длина веревки будет уже больше, и 1 см составит 1/200 000 часть пути. Соответственно, за третью секунду муравей преодолеет 1/300 000 часть веревки, а за n-ную – (1/n)*(1/100 000) часть. Должно быть, многие из вас уже догадались, что нам предстоит иметь дело с рядом – бесконечной суммой слагаемых одного вида:

Конечно, слагаемые постоянно уменьшаются. Однако самые продвинутые математики уже знают, что такой ряд – расходящийся, а это значит, что итоговая сумма бесконечно возрастает с увеличением числа слагаемых. Как это возможно? На самом деле, для каждого числа мы можем сказать, начиная с какого слагаемого итоговая сумма окажется больше него.

И правда: первое слагаемое уже дает нам единицу, второе – 1/2. Обозначим n = 2^k, и рассмотрим вот такую сумму:

Здесь будет n слагаемых, и все они будут не меньше, чем последнее, равное 1/2n. Такое выражение можно оценить снизу:

Первая такая сумма для k = 1 расположена в нашем бесконечном ряду сразу после первых двух слагаемых. Следующая, для k = 2, расположена сразу за ней. В исходном ряде индекс меняется до бесконечности, поэтому рано или поздно достигнет любой степени 2 – а значит, рано или поздно будет добавлена конечная сумма для любого значения k, то есть мы имеем бесконечную сумму слагаемых, каждое из которых не меньше 1/2 – конечно же, такая сумма будет бесконечной.

Что нам дает такой анализ? Для какого-то конечного числа N слагаемых сумма ряда окажется больше 100 000, а доля пройденного муравьем пути превысит 1. Муравей обязательно доберется до второго конца веревки, в который раз доказав свое трудолюбие. Помните: даже самые маленькие шаги к своей цели постепенно складываются в бесконечную сумму!