Онлайн подготовка к ЕГЭ-2022 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Самая красивая фигура

Самая красивая фигура

Из школьной программы, должно быть, каждый из нас знает, что такое «пентагон». Правда, сегодня речь пойдет не об известном здании Министерства обороны США, о котором вы могли подумать, а об одноименной фигуре, в форме которой оно построено – правильном пятиугольнике. Несмотря на то, что на первый взгляд фигура кажется простой, о ней можно сказать много интересного. Например, пентагон – правильный многоугольник с минимальным количеством сторон, которым невозможно замостить площадь. А еще в природе не существует кристаллов с гранями в виде правильного пятиугольника, зато одна из самых изученных молекул фуллеренов С60 имеет структуру усеченного икосаэдра – футбольного мяча, 12 из 32 граней которого представляют собой именно правильные пятиугольники

Один из самых удивительных фактов заключается в том, что правильный пятиугольник с вписанной в него пентаграммой – всем известной звездочкой – по праву может считаться самой красивой фигурой. Пифагор считал, что все прекрасное в природе подчиняется закону золотого сечения, и до сих пор каноном красоты считается лицо, соответствующее «золотому» отношению 1 к (√5-1)/2. Оказывается, в пентаграмме «золотое» соотношение длин имеют практически все отрезки: сторона пятиугольника и диагональ, отрезки, на которые одна диагональ делит вторую, а также сторона внутреннего пятиугольника и отрезки диагонали, на которой она лежит.

1.jpg

Именно этот факт использовал Евклид для построения правильного пятиугольника циркулем и линейкой. Первое, что нам необходимо сделать – получить отрезок разделенный в том самом «золотом» отношении. Для этого достаточно присмотреться к рисунку ниже и вспомнить теорему Пифагора:

2.jpg

Если провести в квадрате отрезок, соединяющий вершину и середину одной из неприлегающих к ней сторон, то длина этого отрезка будет равна а = √(1/4 + 1) = √5/2. Если вычесть из этого значения 1/2, то получим, что сторона квадрата и отрезок, отмеченный красным цветом, имеют искомое «золотое» соотношение длин!

Теперь построить правильный пятиугольник будет совсем просто. Давайте считать, что длина стороны нашего пятиугольника будет такой же, как у стороны исходного квадрата – равная условной единице. Зная длины всех отрезков в пентаграмме, можно построить все ее треугольники по трем сторонам – и в итоге получить искомый пятиугольник:

3.jpg

Что ж, мы с вами получили самую красивую фигуру плоской геометрии при помощи только циркуля и линейки! Осталось только узнать последний занимательный факт об этой фигуре. Невероятно, но получить правильный пятиугольник можно еще проще – просто завязав узлом полоску бумаги. Не верите? Попробуйте сами!