Самая новогодняя задача

В канун Нового года все вокруг ждут чуда, и математики – не исключение. Они вместе со всеми готовятся встретить Главный праздник года: на окна уже наклеены снежинки, на подходе второй тазик оливье и, конечно же, давно готовы подарки всем родным и близким! Но, кажется, чего-то хватает? Должно быть, вы уже догадались: в это самое время самые отчаянные математики отправились в лес за главным новогодним украшением дома – за колючей зеленой красавицей-елкой.

Легко ли среди густого леса найти ту самую, идеальную Новогоднюю Ель? Конечно, нет! Тем более, при выборе немалую роль играет высота елки – а как быть, если нужно высокое дерево, до макушки которого так просто не дотянешься? Сегодня у нас с вами будет самое настоящее практическое задание: при помощи рулетки, зеркальца и великой науки Математики мы будем измерять высоту лесных ёлок!

Давайте рассмотрим наше «Дано»: с помощью рулетки мы можем измерить любые расстояния по земле, однако до верхушки Ёлки достать не получится. Зато мы можем дотянуться до макушки товарища, поэтому у нас появляется первая вертикальная величина – рост человека. Осталось придумать, как соединить точку на вершине Елки с отрезками известной длины. Кажется, у нас еще остались неиспользованные приборы?

По условию задачи мы можем использовать еще и зеркальце, и в первую очередь нас интересуют его геометрические свойства. Из курса физики мы знаем, что луч света отражается от него под тем же углом, что и падает – отлично, это можно использовать для решения геометрической задачи! Вот только как определить, какие два объекта лежат на одном и том же луче – падающем и отраженном? На самом деле, очень просто – и нам даже не придется ловить солнечных зайчиков. Когда наш взгляд падает на зеркало, то, что мы видим в отражении и наши глаза как раз оказываются на падающем и отраженном луче. А если разместить при этом зеркало на земле, то равными будут как раз углы, которые эти лучи составляют с землей. Подведем итог: чтобы на нашем чертеже появились равные углы, нужно положить зеркальце на землю, а потом встать на таком расстоянии от него, чтобы в отражении увидеть макушку елки. Чертеж готов, можно решать задачу!

Кроме равных углов около зеркальца два полученных треугольника АВЗ и ЕМЗ имеют равные прямые углы между вертикальными и горизонтальными отрезками, а значит, эти треугольник подобны. Это дает нам с вами простор действий: стороны подобных треугольников соотносятся одинаково. Измерим расстояние между человеком и зеркальцем АЗ, между зеркальцем и елкой ЗЕ и рост человека АВ. Из равенства подобия АВ/АЗ = МЕ/ЗЕ получим, что высота елки МЕ равна АВ*ЗЕ/АЗ, и в этом выражении присутствуют только измеренные нами величины. Практическое задание выполнено успешно – теперь, зная высоту лесных елок, математики очень быстро вернутся с идеальной Новогодней красавицей домой!