Онлайн подготовка к ЕГЭ-2021 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Санкт-Петербургский парадокс

Санкт-Петербургский парадокс

Считаете ли вы Северную столицу нашей страны городом казино и азартных игр? Иначе почему одна из самых известных задач об играх, ставках и подбрасывании монетки носит гордое имя Санкт-Петербургского парадокса? На самом деле, конечно, возможно и такое, но свое название задача получила благодаря знаменитому философу и исследователю теории вероятностей Даниилу Бернулли, который опубликовал наиболее популярную формулировку парадокса и получившие признание его решения в Санкт-Петербурге.

 
Итак, какое же отношение имеет парадокс к ставкам и азартным играм? Бернулли рассматривал следующую задачу: вступая в игру, игрок платит некоторую сумму – вступительный фиксированный взнос, а после подбрасывает идеально сбалансированную монету до тех пор, пока на ней не выпадет орел. После выпадения орла игрок в любом случае получает выигрыш: если орел выпал первым же броском – одну монету, если вторым – две, а если до орла монета упала решкой вверх n раз, то 2^n монет. Какой вступительный взнос нужно установить организаторам такой игры, чтобы не остаться внакладе? А сколько монет вы готовы заплатить за участие?


Для ответов на подобные вопросы в теории вероятностей уже существуют алгоритмы и формулы. Давайте посчитаем математическое ожидание выигрыша, учитывая, что при каждом броске вероятности выбросить орла или решку одинаковы и равны 1/2:

1.png

Математическое ожидание выигрыша оказалось равно бесконечности, а значит, какой высокий мы бы не назначили вступительный взнос – теоретически, в среднем каждый игрок будет выигрывать больше. Однако на практике выяснилось, что даже 25 монет люди считают неоправданно высокой ценой за вход в игру. Возможно, они по-своему правы?

Даниил Бернулли предположил, что человек оценивает не столько абсолютную величину выигрыша, сколько увеличение исходной суммы в несколько раз. Строго говоря, мы можем ввести так называемую функцию полезности 2.PNG, где Х0 – это сумма вступительного взноса, а Х – полученный выигрыш. Для того, чтобы игра могла считаться справедливой с данной точки зрения, то есть, чтобы отношение выигрыша и потраченной суммы стремилось к единице, математическое ожидание функции полезности должно равняться нулю. Теперь мы можем составить уравнение для переменной Х0 :

4.PNG

Получим 3.PNG, и отсюда следует, что справедливым будет считаться вступительный взнос в размере всего 2 монет!

Несомненно, это решение можно усовершенствовать. Например, функцию полезности выигрыша можно сделать зависимой от начального капитала игрока. Однако результат останется тем же: математическое ожидание будет конечным, а размер «справедливого» выигрыша изменится лишь немного. В конце концов, именно это решение Даниила Бернулли получило признание в научной среде, несмотря на то, что дебаты по этому поводу не утихают до сих пор.