Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
Санкт-Петербургский парадокс
Считаете ли вы Северную столицу нашей страны городом казино и азартных игр? Иначе почему одна из самых известных задач об играх, ставках и подбрасывании монетки носит гордое имя Санкт-Петербургского парадокса? На самом деле, конечно, возможно и такое, но свое название задача получила благодаря знаменитому философу и исследователю теории вероятностей Даниилу Бернулли, который опубликовал наиболее популярную формулировку парадокса и получившие признание его решения в Санкт-Петербурге.
Итак, какое же отношение имеет парадокс к ставкам и азартным играм? Бернулли рассматривал следующую задачу: вступая в игру, игрок платит некоторую сумму – вступительный фиксированный взнос, а после подбрасывает идеально сбалансированную монету до тех пор, пока на ней не выпадет орел. После выпадения орла игрок в любом случае получает выигрыш: если орел выпал первым же броском – одну монету, если вторым – две, а если до орла монета упала решкой вверх n раз, то 2^n монет. Какой вступительный взнос нужно установить организаторам такой игры, чтобы не остаться внакладе? А сколько монет вы готовы заплатить за участие?
Для ответов на подобные вопросы в теории вероятностей уже существуют алгоритмы и формулы. Давайте посчитаем математическое ожидание выигрыша, учитывая, что при каждом броске вероятности выбросить орла или решку одинаковы и равны 1/2:
Даниил Бернулли предположил, что человек оценивает не столько абсолютную величину выигрыша, сколько увеличение исходной суммы в несколько раз. Строго говоря, мы можем ввести так называемую функцию полезности
, где Х0 – это сумма вступительного взноса, а Х – полученный выигрыш. Для того, чтобы игра могла считаться справедливой с данной точки зрения, то есть, чтобы отношение выигрыша и потраченной суммы стремилось к единице, математическое ожидание функции полезности должно равняться нулю. Теперь мы можем составить уравнение для переменной Х0 : 
Получим
, и отсюда следует, что справедливым будет считаться вступительный взнос в размере всего 2 монет! Несомненно, это решение можно усовершенствовать. Например, функцию полезности выигрыша можно сделать зависимой от начального капитала игрока. Однако результат останется тем же: математическое ожидание будет конечным, а размер «справедливого» выигрыша изменится лишь немного. В конце концов, именно это решение Даниила Бернулли получило признание в научной среде, несмотря на то, что дебаты по этому поводу не утихают до сих пор.