Онлайн подготовка к ЕГЭ-2021 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Шляпы, фишки, два стола

Шляпы, фишки, два стола

В первые века нашей эры на территории Западной Европы располагалась процветающая Римская империя. В Средние Века, когда эти территории оказались захвачены, придворные философы тоже вели просветительскую деятельность. И в одном, и в другом случае общество двигалось вперед, но если мы объединим два промежутка времени, то увидим сильный упадок цивилизации. Спрашивается, какое отношение имеет подобный исторический экскурс к математике? Самое прямое!

На самом деле такое несоответствие прогресса и регресса – ни что иное, как иллюстрация так называемого Парадокса Объединения. И пусть в этом случае мы использовали неточные понятия, парадокс можно описать и в терминах математики. Итак, представьте себе шляпы, фишки и два стола.

шляпы.jpg

Допустим, у нас есть два стола, и на каждом из них лежат шляпы – коричневая и серая. В шляпах находится разное количество красных и синих фишек, которые нам с вами предстоит доставать наугад. Напоминает классические задачи по теории вероятностей, не так ли? Подойдем к первому столу: синих фишек больше в обеих шляпах, но вероятность вытащить красную фишку из коричневой шляпы – 1.jpg – больше, чем из серой – 2.jpg Затем посмотрим на второй стол: красных фишек больше, чем синих. При этом вероятнее вытащить красную фишку из коричневой шляпы вновь больше – 3.jpg

Теперь вспомним, как называется наш парадокс. Объединим фишки в шляпах одного цвета: теперь в коричневой шляпе 11 красных и 9 синих фишек, а в серой – 12 красных и 9 синих. Логично было бы предположить, что и после объединения шансов вытащить красную фишку из коричневой шляпы будет больше. Однако, как и в случае с Римской империей, дает о себе знать парадокс: вероятность получить красную фишку оказывается больше для серой шляпы: 4.jpg

Итак, мы получили несоответствие полученного результата и наших ожиданий. В чем же дело? Причина парадокса кроется в так называемой «нерепрезентативности выборки». Интуитивно мы усреднили две группы данных, но не учли, что на первом столе в серой шляпе лежало 7/18 всех фишек, а на втором – 14/23. Если при объединении фишек в шляпах использовать «веса», устраняющие этот перекос, то никакого противоречия не возникнет. В рамках теории вероятностей это можно сделать с помощью формулы полной вероятности:

(вытащить фишку  цвета А из шляп цвета В) =

Р (выбрать фишку из I шляпы цвета В) * Р (вытащить фишку цвета А из I шляпы цвета В) +
+ Р (выбрать фишку из II шляпы цвета В) * Р (вытащить фишку цвета А из II шляпы цвета В)


Если мы сложим вместе фишки в шляпах одного цвета, то вероятность выбрать фишку из конкретной шляпы будет пропорциональна количеству фишек в ней. Формула даст уже знакомый нам результат: 

Р (вытащить красную фишку из коричневых шляп)   = 11/(11+9) * 5/11 + 9/(9+11) * 6/9 = 11/20
Р (вытащить красную фишку из серых шляп)   = 7/(7+14) * 3/7 + 14/(7+14) * 9/14 = 12/21


Но если считать, что перед тем, как вытащить фишку, мы можем с равными вероятностями выбрать одну из двух шляп нужного цвета, то результат окажется совсем другим:

Р (для коричневых шляп)   = 1/2 * 5/11 + 1/2 * 6/9 = 111/198 = 1554/2772
Р (для серых шляп)   = 1/2 * 3/7 + 1/2 * 9/14 = 15/28 = 1485/2772


Как и подсказывала нам интуиция: вероятность достать красную фишку из коричневых шляп вновь стала больше. К сожалению, исторические события формула полной вероятности объяснить не может, но для математических задач подходит отлично!