О нас

Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наша методика

Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Преимущества

Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наши преподаватели

Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Контакты

Блог

Материалы

Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Как готовиться к ЕГЭ?

Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Учебные материалы

Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Образовательным организациям

Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Пользовательское соглашение

Справочник

Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Арифметика

Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Алгебра

Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Планиметрия

Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Информатика

Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Русский язык

Контакты

Личный кабинет

8 800 551-50-78 (бесплатно)

БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!

Шляпы, фишки, два стола

В первые века нашей эры на территории Западной Европы располагалась процветающая Римская империя. В Средние Века, когда эти территории оказались захвачены, придворные философы тоже вели просветительскую деятельность. И в одном, и в другом случае общество двигалось вперед, но если мы объединим два промежутка времени, то увидим сильный упадок цивилизации. Спрашивается, какое отношение имеет подобный исторический экскурс к математике? Самое прямое!

На самом деле такое несоответствие прогресса и регресса – ни что иное, как иллюстрация так называемого Парадокса Объединения. И пусть в этом случае мы использовали неточные понятия, парадокс можно описать и в терминах математики. Итак, представьте себе шляпы, фишки и два стола.

шляпы.jpg

Допустим, у нас есть два стола, и на каждом из них лежат шляпы – коричневая и серая. В шляпах находится разное количество красных и синих фишек, которые нам с вами предстоит доставать наугад. Напоминает классические задачи по теории вероятностей, не так ли? Подойдем к первому столу: синих фишек больше в обеих шляпах, но вероятность вытащить красную фишку из коричневой шляпы – – больше, чем из серой – Затем посмотрим на второй стол: красных фишек больше, чем синих. При этом вероятнее вытащить красную фишку из коричневой шляпы вновь больше –

Теперь вспомним, как называется наш парадокс. Объединим фишки в шляпах одного цвета: теперь в коричневой шляпе 11 красных и 9 синих фишек, а в серой – 12 красных и 9 синих. Логично было бы предположить, что и после объединения шансов вытащить красную фишку из коричневой шляпы будет больше. Однако, как и в случае с Римской империей, дает о себе знать парадокс: вероятность получить красную фишку оказывается больше для серой шляпы:

Итак, мы получили несоответствие полученного результата и наших ожиданий. В чем же дело? Причина парадокса кроется в так называемой «нерепрезентативности выборки». Интуитивно мы усреднили две группы данных, но не учли, что на первом столе в серой шляпе лежало 7/18 всех фишек, а на втором – 14/23. Если при объединении фишек в шляпах использовать «веса», устраняющие этот перекос, то никакого противоречия не возникнет. В рамках теории вероятностей это можно сделать с помощью формулы полной вероятности:

P (вытащить фишку цвета А из шляп цвета В) =

Р (выбрать фишку из I шляпы цвета В) * Р (вытащить фишку цвета А из I шляпы цвета В) +
+ Р (выбрать фишку из II шляпы цвета В) * Р (вытащить фишку цвета А из II шляпы цвета В)

Если мы сложим вместе фишки в шляпах одного цвета, то вероятность выбрать фишку из конкретной шляпы будет пропорциональна количеству фишек в ней. Формула даст уже знакомый нам результат:

Р (вытащить красную фишку из коричневых шляп) = 11/(11+9) * 5/11 + 9/(9+11) * 6/9 = 11/20
Р (вытащить красную фишку из серых шляп) = 7/(7+14) * 3/7 + 14/(7+14) * 9/14 = 12/21

Но если считать, что перед тем, как вытащить фишку, мы можем с равными вероятностями выбрать одну из двух шляп нужного цвета, то результат окажется совсем другим:

Р (для коричневых шляп) = 1/2 * 5/11 + 1/2 * 6/9 = 111/198 = 1554/2772
Р (для серых шляп) = 1/2 * 3/7 + 1/2 * 9/14 = 15/28 = 1485/2772

Как и подсказывала нам интуиция: вероятность достать красную фишку из коричневых шляп вновь стала больше. К сожалению, исторические события формула полной вероятности объяснить не может, но для математических задач подходит отлично!

< Назад к списку