Символ года и его Великая Мысль

В нашей стране природа давно заснула, и вся земля укрыта снегом. Но в одной далёкой-далёкой африканской стране, где живет символ наступающего Нового года Змеи, бушуют зелёные джунгли и поют разноцветные птицы! Сам символ года, длинный-длинный Удав, как и положено волшебному существу, был не только длинным, но и необычайно умным. Целыми днями он лежал, свернувшись кольцами, и думал свою Великую Мысль. Мысль была настолько важной, что никто, кроме Удава, не мог её понять — даже озорная Мартышка, внимательный Слоненок и говорливый Попугай, которые были лучшими друзьями Удава.

В чем заключалась Великая Мысль? Все очень просто: однажды, свернувшись кольцами на прогретом солнцем камне, Удав задумался о своем росте. Ведь как измерить рост змеи? Чем выше он поднимется на своем хвосте, тем больше рост получится! Но ведь у одного Удава не может быть два роста? Конечно, друзья решили помочь. Зверята рассуждали так: рост измеряют в том направлении, в котором растут, а змеи растут в длину. Значит, рост Удава – это его длина! Осталось только ее измерить. Слонёнок предложил мерить в слонах, но Удав возмутился: «Пока ты доберешься до моей головы, наступишь на все мои кольца!» Мартышка предложила мерить в мартышках, но это была очень непостоянная мера длины: она постоянно прыгала, крутилась и вытягивала хвост. У друзей остался последний вариант – мерить длину Удава решили в попугаях. Попугай был очень горд оказанной ему честью и важно перелетал с одного кольца Удава на другое. Сколько же Попугаев поместится на каждом кольце Символа года?

Вблизи головы Удав располагался почти вертикально, поэтому и первое, и второе его кольцо заняло всего по одному Попугаю. А вот третье оказалось равным уже двум Попугаям, четвертое – трем, пятое – пяти… Очень быстро выяснилась интересная закономерность: Удаву было особенно удобно сворачиваться кольцами так, что число Попугаев на каждом следующем кольце равнялось сумме Попугаев на двух предыдущих.

Конечно, Попугай не собирался на этом останавливаться, и собирался измерить длинного-длинного Удава до самого кончика хвоста. А ведь тем временем Мартышка и Слонёнок успели заскучать: они уже успели выяснить, что Удав свернулся аж в 2025 колец, и до последнего из них, самого большого, Попугай добрался бы нескоро. Глядя на него, Слонёнок задумался: наступающий, следующий год имеет номер 2025, а предыдущий – 2023. Так почему бы самому большому, 2025-му кольцу Символа года не быть длиннее, чем сумма всех 2023-х первых, вместе взятых?

Мартышка с энтузиазмом подхватила эту идею, но Удав казался ей настолько длинным, что она была уверена – уж 2023 кольца-то точно должны оказаться длиннее в сумме! Конечно, зверятам захотелось это проверить, но ждать Попугая пришлось бы еще очень долго. Что скажете, сможем ли мы с вами помочь Мартышке и Слоненку?

Вы наверняка уже заметили, что длины колец Удава в Попугаях подчиняются правилу чисел Фибоначчи, а это значит, что для такой последовательности можно доказать много интересных математических свойств. Давайте запишем вопрос, о котором спорят зверята, в терминах Фибоначчи: что больше, 
Хорошо известно, что последующие члены последовательности Фибоначчи можно выразить через предыдущие. Попробуем перезаписать так, чтобы оно больше походило на правую сторону равенства:

  

Очень похоже на формулу  , не правда ли?

Давайте докажем ее по индукции! База у нас есть:  Теперь рассмотрим переход. Пусть  верно для n. Тогда для n+1 получим такую цепочку равенств:  (по правилу чисел Фибоначчи)  (по предположению индукции) – в точности соответствующее формуле равенство. Что ж, формула доказана, осталось применить ее к данным задачи!

Так как последнее кольцо Удава – 2025-е, то формула примет вид:  а это значит, что Слонёнок оказался прав! Самое большое, 2025-е кольцо Символа года оказалось на одного Попугая длиннее, чем первые 2023 кольца, вместе взятые. Зверята благодарят вас за помощь и поздравляют с Наступающим Новым Годом! Пусть в Новом году Змеи у вас исполнится столько желаний, сколько все-таки окажется Попугаев во всем Удаве – сможете сосчитать?