Сколько горошин войдет в один стакан?

Сколько горошин войдет в один стакан? Наверняка вас хотя бы раз пытались подловить на этом вопросе. Что ж, благодаря игре слов, правильный ответ – ни одной, ведь горошины не умеют ходить, не так ли? А для тех, кто предпочитает избегать таких ловушек, существуют строгие условия математических задач. При этом вопрос будет точно такой же!

Для определенности возьмем ограниченное число небольших горошин – допустим, N. Горошины оказались рассыпаны по столу так, что любые три из них можно накрыть перевернутым стаканом – они окажутся внутри. Итак, обещанный вопрос: какое максимальное число горошин за раз можно накрыть стаканом? Давайте исследуем знаменитый вопрос шутников с математической точки зрения!

Прежде всего, договоримся считать небольшие горошины точками, а радиус стакана примем за единицу. Теперь условие выглядит совсем как из учебника по геометрии: на плоскости дано N точек, причем любые 3 из них можно накрыть кругом радиуса 1. Сколько точек может оказаться в таком круге? Пожалуй, начнем наше исследование с круга побольше, в котором поместятся все N точек на плоскости. Попробуем его уменьшить – и будем уменьшать до тех пор, пока это возможно. Обозначим радиус этого круга R. Так как полученный круг – минимальный для нашего набора точек, то по крайней мере две из них окажутся на его границе. Рассмотрим ситуацию, когда таких точек ровно две:

В этом случае точки окажутся диаметрально противоположными. Для того, чтобы проверить условие задачи, выберем третью точку – любую из оставшихся. Так как расстояние между первыми двумя точками равно длине диаметра – 2R, то и диаметр окружности с единичным радиусом, в которую должны попасть по условию все три выбранные точки, не может быть меньше. Получим 2 ≥ 2R, а это значит, что радиус минимального для нашего набора точек круга не превышает 1! В этом случае стаканом можно накрыть все N горошин на столе – причем N может быть любым.

Тем не менее, не стоит забывать – мы рассмотрели только один случай. Допустим теперь, что на границе оказалось ровно три точки – обозначим их А, В и С:

Задумайтесь: если бы треугольник АВС был тупоугольным, то радиус минимального круга для всего набора точек можно было бы уменьшить – по крайней мере, до тех пор, пока на границе не окажется еще одна точка. Если треугольник АВС оказался прямоугольным, то его гипотенуза будет диаметром нашего круга, а такую ситуацию мы уже рассмотрели для двух точек. Остается только тот вариант, при котором треугольник АВС – остроугольный, а значит, радиус его описанной окружности R не может быть больше 1, иначе не существовало бы единичной окружности, содержащий все три вершины А, В и С. Что ж, и в этом случае мы получили, что накрыть стаканом удастся сразу все горошины на столе!

Итак, нерассмотренным остался тот случай, при котором на границе общего круга окажется сразу четыре или больше точек. В таком случае, эти k точек делят окружность на k дуг а₁ … a_k:

Так как точек больше трех, то мы пока не можем использовать условие задачи так же, как для предыдущих рассмотренный случаев. Значит, нужно уменьшить количество точек на окружности! Будем последовательно убирать те точки, сумма соседних дуг которых не превышает 180˚. Докажем, что, пока k ≥ 4, такие дуги найдутся: пусть а₁ + а₂ > 180˚, а₂ + а₃ > 180˚, … а_k + а₁ > 180˚. Сложим эти неравенства: 2(а₁ + а₂ +…+ а_k) > k*180˚. Но ведь в сумме все эти дуги представляют собой полную окружность, то есть 360˚! Получаем, что для k ≥ 4 итоговое неравенство неверно, и в силу этого противоречия, соседние дуги с суммой не больше 180˚ будут находиться до тех пор, пока на границе круга не останется только 3 точки – а ведь такой случай мы с вами уже рассмотрели! Получается, что все точки, кроме удаленных нами с окружности, и в этот раз можно накрыть стаканом. При этом из-за того, что в стакан попадет вся итоговая окружность – ведь внутри окажется остроугольный треугольник, вокруг которого она описана – даже удаленные точки будут накрыты стаканом.

Подведем итоги: если каждые три из N горошин на столе можно накрыть стаканом, то все эти горошины войдут в стакан за один раз. Впрочем, на самом деле наше решение задачи не единственное. Для тех, кто любит решать задачи красиво – буквально одной теоремой! – зададим новую планку: подумайте, каким образом можно трактовать условие, чтобы ответить на вопрос можно было одним применением теоремы Хелли!