Стереометрия и случайные числа

Знаете ли вы, как можно сгенерировать случайное число? Казалось бы, подобное умение вряд ли пригодится в жизни – но на самом деле каждый из вас хоть раз генерировал случайное число самостоятельно. Вероятнее всего, это случайное число было натуральным и в диапазоне от 1 до 6, не так ли? Конечно, ведь вы уже догадались: речь идет об игральном кубике.
Как мы уже заметили, кубик позволяет получить случайное число от 1 до 6. Но что делать, если у вас в игре, например, всего 4 направления, и нужно выбрать одно из них? Очевидное решение – присвоить двум направлениям по два возможных значения на гранях кубика – приведет к тому, что вероятность выбора этих направлений будет аж в два раза выше, чем для других! Зачастую в игре подобное недопустимо. Впрочем, нерешаемой проблемы в этой ситуации нет – во многих играх используются вовсе не кубики, а другие правильные многогранники с другим числом сторон, которые, тем не менее, выпадают с одинаковой частотой.
В нашей ситуации, когда варианта всего четыре, пригодится самый маленький правильный многогранник. Его грани будут правильные треугольниками – ведь меньше трех вершин у плоской фигуры не бывает, а всего их будет 4 – еще по одному треугольнику на каждой стороне треугольника. Вуаля! Получилась правильная треугольная пирамида.
Скажите, наверняка после столь долгих рассуждений о случайных числах вы ждете разбор задачи по теории вероятностей? Но авторы олимпиадных заданий умеют удивлять! Оказывается, правильную треугольную пирамиду нам с вами сегодня предстоит не бросать, а перекатывать. 
Крутить пирамиду мы будем так, чтобы одна из ее вершин все время оставалась неподвижной, а значит – вокруг нее. Кроме того, нельзя перекатывать пирамиду через одно и то же ребро два раза подряд, поэтому мы будем ее крутить строго в одном направлении. Сколько раз нужно будет ее повернуть, чтобы пирамида прошла полный круг по столу?

След от каждого поворота – это правильный треугольник нижней грани. Поставим их в круг вокруг одной вершины – и мы получим правильный шестиугольник. Получается, за шесть поворотов пирамида пройдет полный круг. А какое расстояние за это время пройдут вершины пирамиды? По какой траектории они будут двигаться? Длина каждого ребра пирамиды 6 см.

Во время одного перекатывания пирамида вращается вокруг оси – того ребра, через которое мы ее перекатываем. Следовательно, все точки движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных этой оси и с центрами на ней.

Давайте обозначим неподвижную вершину пирамиды буквой А. Первый переворот будем делать через ребро АВ. Проследим за вершиной S: она переходит в точку S’ и движется по окружности в плоскости, перпендикулярной АВ, и с центром на АВ. Если какая-то прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Получается, что для того, чтобы найти центр окружности, по которой движется точка S, нам нужно опустить из не перпендикуляр на ребро АВ – это будет высота грани SАВ, на чертеже мы отметили ее красным цветом. 

Так как SAB – правильный треугольник, длина высоты (и, соответственно, радиус окружности) будет равна

Теперь нам нужно выяснить, на какой угол повернется пирамида. Так как СМ и S’M – тоже высоты правильного треугольника и перпендикулярны АВ, эти отрезки как раз лежат в перпендикулярной АВ плоскости, и мы можем говорить, что пирамида повернулась на угол SMS’, а угол СMS – смежный для него. 

Найдем величину угла СMS по теореме косинусов для треугольника СMS.

Тогда угол, на который повернулась пирамида, в радианах равен

Теперь мы можем найти длину дуги окружности, а значит, и длину траектории, по которой перемещалась точка: умножаем радиус на угол в радианах, получаем

Отлично, мы нашли длину пути одной точки при одном перемещении. Но у нас осталось еще несколько точек, которые мы не рассмотрели: в этом перевороте еще движется точка С, а точка В остается неподвижной. Присмотритесь к чертежу: пирамида в своем изначально положении симметрична синей пирамиде, которая изображает результат переворота. Получается, траектории СС’ и SS’ пролегают как раз между симметричными точками – получается, точка С проходит путь точно такой же длины.

Теперь разберемся с другими поворотами. В первом из них точка S прошла найденный нами путь. Во втором она останется неподвижной, так как переворачивать пирамиду мы будем через ребро AS. А в третьем повороте точка S окажется на месте точки С и, как мы выяснили, ее путь будет совпадать с найденным нами для первого поворота. 

После третьего поворота пирамида опять окажется на грани АВС – мы вернемся в начальное состояние, поэтому следующие три поворота будут абсолютно аналогичны первым. Кроме того, каждая из точек С, B, S пройдет один и тот же путь, просто их траектории будут чередоваться – за шесть поворотов будет 2 ситуации, когда каждая из них неподвижна, и 4 раза они переместятся по одинаковым дугам окружностей.

Настало время подвести итог: за время, пока правильная треугольная пирамида, перекатываясь по столу вокруг одной вершины, вернется в изначальное положение, каждая из ее вершин, кроме центральных, пройдет путь

Поздравляем, задача решена!