Тайна чисел за Круглым столом

В замке Камелот царила тишина. Король Артур и одиннадцать его рыцарей собрались вокруг круглого стола, их лица были сосредоточены – еще бы, решался вопрос, кто же возглавит их непобедимую армию! Однако на этот раз на столе не лежали мечи. Вместо них перед каждым из рыцарей лежал простой лист бумаги. Мерлин, ближайший сподвижник Короля Артура и придворный чародей, стоял в центре комнаты, пряча хитрую улыбку в своей бороде.

— Друзья мои, — произнес он, окидывая рыцарей взглядом, — лишь недавно Его Величество сетовал, что любой науке вы предпочитаете искусство махать мечом. Но от того, кому Король доверит вести сражения от своего имени, ожидается гораздо большее. Сегодня вам предстоит решить загадку. В этом испытании не помогут ни сила, ни ловкость. Лишь разум.

Рыцари переглянулись. Некоторые из них нахмурились: бой с мечом в руке был куда привычнее, чем абстрактные задачи.

— Перед каждым из вас лежит лист бумаги с числом, — продолжил Мерлин. — Числа эти уникальны, и все они — целые. Листы расположены так, что разница между числами у тех из вас, кто сидит рядом, не превышает двух. Например, сэр Гавейн, переверните лист перед вами. Ваше число – пять. А у сэра Ланселота по вашу левую руку указано число шесть. Взгляните.

Двое рыцарей перевернули листы бумаги перед собой – числа совпали с озвученными Мерлином.

— Ваш король сидит ровно напротив сэра Ланселота за этим столом, и перед ним также лежит число, — добавил маг. — Тот, кто, не вскрывая более чисел, сумеет перечислить все возможные числа для короля, по праву возглавит его легионы. Да будет так!

— Да будет так! — подтвердил Король Артур.

Рыцари зашумели. Головоломка скрывала какой-то подвох?..

На этом моменте мы с вами вслед за Мерлином покинем шумное собрание. Придворный чародей уверен, что уж нам-то эта загадка по зубам – не станем его разочаровывать. Мы уже пришли: в кабинете мага нашлись и бумага, и перо с чернильницей. Буквально несколько строк расчетов – готовы доказать, что в математике вам нет равных?

Начнем с чертежа. Схематично изобразим места рыцарей за столом, числа сэра Гавейна и сэра Ланселота, а также искомое число короля:

Как решать такую задачу? Давайте сначала определим пределы, в которых стоит искать возможные числа. Так как соседние числа отличаются не более чем на 2, пойдем от 5 и от 6 с шагом 2 в большую и меньшую стороны: 5 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = -5, 6 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = -6, 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15, 6 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18. Таким образом, при соблюдении такого правила мы не сможем получить число меньше -5 и больше 15 – список сузился до 21 числа. Но ведь это еще не конец, не так ли?

Проверим, что для крайних значений действительно можно придумать расстановку. Последовательность чисел с одной стороны мы уже знаем – нужно снижать или повышать значение с максимальным шагом 2 – а для второй стороны числа легко подбираются:

Вы заметили, что в обоих примерах числа от 5 и 6 с обеих сторон либо уменьшаются, либо увеличиваются синхронно? При этом максимум и минимум среди всех чисел находятся как раз друг напротив друга. Почему так происходит?

Допустим, что от чисел 5 и 6 в одну сторону значение увеличивается, хотя бы одно, а в другую – уменьшается. Тем не менее, стол круглый – поэтому две цепочки чисел в каком-то месте сойдутся, и граница между значениями 5 и 6 должна будет быть пересечена опять. Какие числа могут находится на этом пересечении? Ближайшие – 7 и 4, однако разрыв между ними уже больше допустимого 2. Вот так, от противного, доказывается, что все числа на столе должны быть либо меньше открытых 5 и 6, либо больше.

Вернемся к нашей рыцарской рассадке. Как могут быть расположены числа, если мы знаем, что все они больше 6? При таком условии уже видно четкое расположение: больше 6 и при этом не отличается от 5 более чем на 2 только одно число – 7, поэтому именно оно будет проставлено по правую руку от 5. Так как числа не повторяются, на место по левую руку от 6 остался только один претендент – 8. При помощи точно таких же рассуждений вписываем возрастающую цепочку чисел попеременно на одну и другую стороны стола до тех пор, пока не определим – число короля равно 15, и никак не меньше.

Попробуем двинуться в другую сторону. Если все числа меньше 5, то рядом с 6 стоять может только 4. Аналогично получаем попеременную убывающую цепочку до числа короля -5 – и никак не больше. Мы доказали, что существует всего два варианта!

По доброй усмешке Мерлина понятно, что придворный чародей в нас не сомневался. И пусть должность командира армии Короля Артура нам с вами ни к чему, мы вправе гордиться пройденным испытанием!