Онлайн подготовка к ЕГЭ-2022 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Только окружности

Только окружности

Когда-то давно, еще в начальной школе, многие юные математики столкнулись со своей первой задачей на построение: нужно было построить отрезок определенной длины. Задача решалась легко и просто, потому что тогда можно было использовать линейку с делениями. Позже, уже на уроках геометрии, оказалось, что нужно уметь проводить построения про помощи только циркуля и линейки без делений. Но на самом деле и это еще не предел! В конце XVIII века итальянский математик Лоренцо Маскерони придумал при геометрических построениях использовать только циркуль. Легенды гласят, что этой идеей Маскерони поделился со своим близким другом – императором Франции Наполеоном Бонапартом. Так появилась известная задача Наполеона о разделении окружности на четыре равные части.

Как и обещалось, в задаче нас ждут только циркуль и только окружности – использовать линейку в этот раз запрещено. Даже начальный чертеж представляет собой окружность и ее центр О – ничего лишнего. Истории неизвестно, решил ли задачу сам император, но у нас с вами точно получится!

Первое, что мы сделаем – выберем случайную точку на данной окружности и проведем еще одну окружность через точку О с центром в выбранной точке. А теперь – еще одну такую же, но с центром в точке пересечения первых двух. Посмотрите: так как все окружности одного радиуса, все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, а самая верхняя и самая нижняя из них лежат на одном диаметре исходной окружности.

1.PNG

Следующий шаг нашего построения – проведение оранжевых дуг с центрами на концах диаметра. Какого радиуса будут эти дуги? Один из углов в черном треугольнике опирается на диаметр, поэтому этот треугольник – прямоугольный. Один из катетов равен радиусу исходной окружности, а гипотенуза – двум, поэтому радиус оранжевых дуг равен sqrt(3) × r. А в какой точке эти дуги пересекутся?

5.PNG
Оранжевые дуги пересекутся в вершине равнобедренного треугольника, основанием которого служит диаметр исходной окружности. На этом этапе нас вновь будут интересовать расстояния: какова будет длина черного отрезка? Так как он проведен из центра первой окружности, этот отрезок будет медианой и высотой равнобедренного треугольника. Осталось применить теорему Пифагора: длина отрезка будет равна sqrt(2) × r.
3.PNG
Именно такое расстояние нам и нужно! Длина отрезка в sqrt(2) раз меньше длины диаметра – точно также соотносятся длины стороны квадрата и его диагонали. А ведь для любого вписанного в окружность квадрата его диагонали будут диаметрами. Расставим ножки циркуля на расстояние, равное длине черного отрезка, и проведем окружность с центром в одном из концов диаметра. Полученные четыре желтые точки на чертеже образуют вписанный квадрат, а значит – окружность разбита на четыре равные части, задача решена!
4.PNG
Вы удивитесь, но Маскерони доказал, что любая задача на построение, решаемая при помощи циркуля и линейки без делений, может быть решена при помощи одного только циркуля. Сейчас это утверждение называется теоремой Мора-Маскерони.