О нас

Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наша методика

Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Преимущества

Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наши преподаватели

Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Контакты

Блог

Материалы

Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Как готовиться к ЕГЭ?

Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Учебные материалы

Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Образовательным организациям

Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Пользовательское соглашение

Справочник

Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Арифметика

Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Алгебра

Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Планиметрия

Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Информатика

Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Русский язык

Контакты

Личный кабинет

8 800 551-50-78 (бесплатно)

БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!

Только окружности

Когда-то давно, еще в начальной школе, многие юные математики столкнулись со своей первой задачей на построение: нужно было построить отрезок определенной длины. Задача решалась легко и просто, потому что тогда можно было использовать линейку с делениями. Позже, уже на уроках геометрии, оказалось, что нужно уметь проводить построения про помощи только циркуля и линейки без делений. Но на самом деле и это еще не предел! В конце XVIII века итальянский математик Лоренцо Маскерони придумал при геометрических построениях использовать только циркуль. Легенды гласят, что этой идеей Маскерони поделился со своим близким другом – императором Франции Наполеоном Бонапартом. Так появилась известная задача Наполеона о разделении окружности на четыре равные части.

Как и обещалось, в задаче нас ждут только циркуль и только окружности – использовать линейку в этот раз запрещено. Даже начальный чертеж представляет собой окружность и ее центр О – ничего лишнего. Истории неизвестно, решил ли задачу сам император, но у нас с вами точно получится!

Первое, что мы сделаем – выберем случайную точку на данной окружности и проведем еще одну окружность через точку О с центром в выбранной точке. А теперь – еще одну такую же, но с центром в точке пересечения первых двух. Посмотрите: так как все окружности одного радиуса, все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, а самая верхняя и самая нижняя из них лежат на одном диаметре исходной окружности.

Следующий шаг нашего построения – проведение оранжевых дуг с центрами на концах диаметра. Какого радиуса будут эти дуги? Один из углов в черном треугольнике опирается на диаметр, поэтому этот треугольник – прямоугольный. Один из катетов равен радиусу исходной окружности, а гипотенуза – двум, поэтому радиус оранжевых дуг равен sqrt(3) × r. А в какой точке эти дуги пересекутся?

Оранжевые дуги пересекутся в вершине равнобедренного треугольника, основанием которого служит диаметр исходной окружности. На этом этапе нас вновь будут интересовать расстояния: какова будет длина черного отрезка? Так как он проведен из центра первой окружности, этот отрезок будет медианой и высотой равнобедренного треугольника. Осталось применить теорему Пифагора: длина отрезка будет равна sqrt(2) × r.

Именно такое расстояние нам и нужно! Длина отрезка в sqrt(2) раз меньше длины диаметра – точно также соотносятся длины стороны квадрата и его диагонали. А ведь для любого вписанного в окружность квадрата его диагонали будут диаметрами. Расставим ножки циркуля на расстояние, равное длине черного отрезка, и проведем окружность с центром в одном из концов диаметра. Полученные четыре желтые точки на чертеже образуют вписанный квадрат, а значит – окружность разбита на четыре равные части, задача решена!

Вы удивитесь, но Маскерони доказал, что любая задача на построение, решаемая при помощи циркуля и линейки без делений, может быть решена при помощи одного только циркуля. Сейчас это утверждение называется теоремой Мора-Маскерони.

< Назад к списку