Онлайн подготовка к ЕГЭ-2022 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
Циркуль, линейка и оригами

Циркуль, линейка и оригами

Мало кто не слышал о задачах на построение, а на уроках геометрии большинству из нас довелось попробовать свои силы в решении самых классических из них – задач на построение треугольника по трем элементам. При этом пользоваться можно было только циркулем и линейкой без делений. Неудивительно, что с таким скудным набором инструментов некоторые задачи остались без ответа. Впрочем, доказать неразрешимость – тоже задача!

В поисках занимательных загадок геометрии нам с вами предстоит стать персонажами античной легенды. Когда-то давно, в эпоху Древней Греции, на остров Делос обрушилась эпидемия чумы. В отчаянии жители острова обратились к Дельфийскому оракулу за советом, и тот повелел увеличить вдвое жертвенник святилища в храме Аполлона. Здесь стоит отметить, что жертвенник имел форму куба, но как можно удвоить куб? Сначала островитяне установили в храме куб с ребром в два раза больше предыдущего. Эпидемия не остановилась, люди продолжали умирать, и оракул уточнил, что нужно увеличить в два раза объем жертвенника, причем так, чтобы он все еще имел форму куба. История умалчивает, как справились с заданием жители Делоса, но вскоре чума покинула остров, а для нас с вами осталась Делийская задача об удвоении куба.

Делийскую задачу можно представить уравнением х3 = 2*a3, в котором a – это длина ребра исходного жертвенника, а х – ребро куба, который нужно построить. Получается, все решение сводится к построению отрезка с длиной, равной кубическому корню из двух. Именно здесь и возникают сложности: еще в 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал, что число 2(1/3) является трансцендентным – другими словами, имея циркуль, линейку без делений и единичный отрезок, отмерить расстояние 2(1/3) невозможно. Задача об удвоении куба оказалась неразрешимой.

Конечно, с древности и до наших дней Делийскую задачу решили многие математики. Однако чем проще были используемые при построении инструменты, тем выше ценилось решение. Очень интересным с этой точки зрения является построение, для которого нам понадобится только лист бумаги. Да-да, оказывается, задача об удвоении куба решается в технике оригами!

Первым шагом на пути к нашей цели является построение обычного квадрата. Затем нужно разделить квадрат на три равные части двумя сгибами, параллельными одной из сторон. Задачи построения квадрата и деления отрезка на три равные части легко решаются и с помощью оригами, и классическими циркулем и линейкой, поэтому перейдем сразу к самой интересной части.

1.PNG

Обозначим вершины квадрата буквами ABCD, а сгибы – p и q. Отметим точку Х, как показано на чертеже. Теперь начинается настоящая магия оригами: нужно сложить лист так, чтобы точка В попала на отрезок AD, а точка Х – на сгиб p. Такое движение называется складкой Белок, или шестым правилом Фудзиты – доказано, что выполнить складку можно для любых двух прямых и любых двух точек. Получим следующий чертеж:

2.PNG

В этом чертеже кроется решение задачи: присмотритесь внимательнее. Точка В’ делит сторону AD в том самом искомом отношении 1 : 2(1/3) ! При желании вы можете доказать этот факт с помощью подобия треугольников и теоремы Пифагора.

К сожалению, в современном мире глобальные проблемы – в том числе эпидемии – не могут быть решены при помощи одного листа бумаги, зато для геометрических задач это по-прежнему актуальный способ решения. Его называют методом плоского оригами, и он имеет свои собственные Правила Фудзиты проведения построений.