Уравнения и площади

С самого седьмого класса, когда из нашей жизни исчезла математика, разделившись на алгебру и геометрию, нам не приходилось в одной задаче одновременно решать уравнения, высчитывать углы, следить за ОДЗ и находить площадь. Как и в ЕГЭ, каждое задание соответствовало определенной теме. Но ведь настоящее искусство математики не знает границ!
В этот раз нам с вами предстоит отойти от всех условностей, ведь задача, которая нас ждет, представляет собой настоящий микс алгебры и геометрии. Казалось бы – нужно всего лишь посчитать площадь многоугольника. Вот только многоугольник расположен на координатной плоскости, и чтобы найти его вершины, придется постараться: нас ждет система уравнений. Квадратных уравнений с двумя переменными! Готовы?
Будем разбираться по порядку. Начнем с того, что рассмотрим систему:

Оба уравнения содержат квадраты переменных. Однако обратите внимание на первое уравнение: при нулевой правой части в левую его часть не входит так называемый «свободный член», то есть слагаемое, в котором нет переменных. Кроме того, суммарная степень переменных одинакова в каждом слагаемом. Это дает нам неплохой шанс на то, что выражение слева получится разложить на множители. Давайте попробуем:

И… у нас получилось! Что нам это дает? Теперь мы можем разбить первое, квадратное, уравнение системы на совокупность двух линейных. Записываем именно совокупность, то есть требуем не одновременного выполнения двух равенств, а выполнения хотя бы одного из них – ведь если любой множитель равен нулю, то все произведение также обнуляется.

Настала очередь второго уравнения. Давайте перенесем все слагаемые, содержащие переменные, на левую сторону. Узнаете? Да, мы получили формулу сокращенного умножения, это квадрат суммы! «Сворачиваем» его в произведение. Что у нас осталось справа? Девятка – это либо три в квадрате, либо минус три, поэтому, в общем и целом, второе квадратное уравнение точно так же превращается в два линейных!

Итак, мы имеем систему из двух совокупностей линейных уравнений. Каждое линейное уравнение с двумя переменными – это прямая на координатной плоскости. Нам осталось только провести эти четыре прямые и выбрать нужные точки пересечения!

Нам нужны точки пересечения прямых из первой совокупности с прямыми из второй. Точки пересечения прямых из «одного комплекта» мы не учитываем! Получается вот такая фигура: решений у уравнения ровно четыре.

Идем дальше по задаче: нужно найти площадь образовавшегося многоугольника. Но что мы про него знаем? Только координаты вершин! Возможно, это параллелограмм? Или даже прямоугольник? Нам не даны даже длины сторон.

Рассмотрим прямые, которые содержат стороны нашей фигуры. Стороны АВ и CD содержат синяя и фиолетовая прямые – у = 3 – х и у = -3 – х. У них одинаковый коэффициент при х, а значит, они параллельны.

Найдем уравнение прямой, содержащей AD: она проходит через точки (-2, -1) и (1, 2). Запишем уравнения относительно коэффициентов: -1 = -2k + b для первой точки и 2 = k + b для второй. Получаем k = 1, b = 1, а полное уравнение прямой y = x + 1. Точно так же найдем уравнение прямой, содержащей BC: у = х – 1. Эти две прямые тоже имеют одинаковые коэффициенты при х, поэтому также параллельны.

Более того, первая пара прямых перпендикулярна второй, так как произведение их угловых коэффициентов (-1) ∙ 1 = -1 равняется минус единице. Наш с вами многоугольник – прямоугольник!

Посчитаем длины его сторон – нам будет достаточно двух. Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости, нужно сложить квадраты разностей между их соответствующими координатами и извлечь корень. Считаем:

И последний штрих – находим площадь:

Задача решена!