О нас

Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наша методика

Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Преимущества

Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наши преподаватели

Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Контакты

Блог

Материалы

Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Как готовиться к ЕГЭ?

Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Учебные материалы

Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Образовательным организациям

Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Пользовательское соглашение

Справочник

Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Арифметика

Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Алгебра

Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Планиметрия

Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Информатика

Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Русский язык

Контакты

Личный кабинет

8 800 551-50-78 (бесплатно)

БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!

Все дороги ведут в Рим

Римскую империю не зря называют великой – можно долго говорить про развитые экономическую и политическую системы, про римское право, армию и культуру. Все дороги ведут в Рим, вечный город – наверняка вы не раз слышали это выражение. Когда-то (больше двух тысяч лет назад) оно воспринималось буквально: привычные нам дороги строились только для сообщения между Римом и другими городами империи. Сегодня это выражение имеет, скорее, философское значение: какими бы путями не шли наши рассуждения, мы все равно придем к единственной истине. И знаете что? В математике это тоже работает!

Когда перед нами стоит задача, мы находимся в начальной точке пути. А вот цель нашего путешествия уже зависит от вопроса. Вычислить значение переменной или построить нужную фигуру? В этот раз нам достался вариант с наибольшим пространством для творчества: в задаче от нас требуется доказательство.

Входные данные минимальны: условие и вопрос представляют собой всего одно предложение. Нам нужно доказать, что для каждого натурального числа n число делится на 11. Какой дорогой мы с вами отправимся в путь? Попробуем их все!

Первый путь – для самых внимательных, и называется он «Заметим, что». Мы тоже не раз видели эту фразу в доказательствах из учебника и недоумевали: как авторам удалось к этому прийти? Ответ прост: математическая наблюдательность! И в этой задаче она нам пригодится: заметим, что

. Что изменилось? Мы возвели 5 и 3 во вторую степень, 25 разложили на два слагаемых: максимальное кратное 11 число – 22, и остаток – 3, а в случае с тройкой вынесли за скобки общий множитель –

. Что дало нам такое преобразование?
Давайте посмотрим на получившееся выражение с точки зрения бинома Ньютона. У нас есть сумма, возводимая в степень, однако показатель степени нам неизвестен. Применим магию еще раз: заметим, что по формуле в результирующую сумму входят только слагаемые, которые содержат множитель 22 (а значит, делятся на 11!), и самое последнее слагаемое

Запишем это так:

где А – какое-то неизвестное нам целое число. Еще раз выносим общий множитель за скобки:

Приглядитесь: теперь на 11 делится каждое слагаемое, а значит, и вся сумма. Цель достигнута!

Отлично, задача решена, но очень хитрым способом. Что же делать, если заметить ключевую зацепку доказательства никак не получается? Разумеется, пойти другой дорогой!

Второй путь, который мы рассмотрим, можно назвать классическим для задач на делимость. Называется он «Метод остатков» и построен на свойствах математической операции взятия остатка по определенному модулю.

Перепишем утверждение, которое нам нужно доказать:

С правой частью все понятно: если остаток равен нулю, то выражение делится на 11 нацело. А вот левую часть мы с вами сейчас попробуем преобразовать:

Мы воспользовались тем, что операцию взятия остатка можно внести под степень или применить отдельно к каждому слагаемому. Задача решена всего в одну цепочку преобразований, цель достигнута!

Но вы же помните, что мы собирались попробовать все пути решения? Конечно, перебрать каждое возможное у нас не получится – решений у любой задачи бесконечно много, но еще одно доказательство мы обязательно приведем.

Знаете такую математическую поговорку: не знаешь, как доказывать – доказывай по индукции? Здесь она на 100% применима. Все помнят, что нам потребуется? Всего 2 ингредиента – база и переход!

Начнем с базы индукции. Будем доказывать утверждение для всех целых неотрицательных чисел и начнем с нуля – просто подставим его вместо n в наше выражение: что точно делится на 11. Отлично, база доказана.

Переход индукции заключается доказательстве факта для n + 1, если факт для n считается уже доказанным. Выпишем эти два выражения: - делится на 11 по предложению индукции

В полученном последнем выражении первое слагаемое делится на 11, так как выражение в скобках – это и есть выражение для n, которое делится на 11 по предположению индукции, а второе слагаемое делится на 11 за счет множителя 22. Переход доказан, индукция сработала, и мы достигли цели третий раз!

Итак, сегодня мы с вами выяснили, что решить задачу всегда можно несколькими путями – и если один из них вам не дается, то не отчаивайтесь и ищите свой собственный! Ведь, в конце концов, все они приведут к одному и тому же решению, как когда-то все дороги вели в Рим.

< Назад к списку