Онлайн подготовка к ЕГЭ-2021 по профильной математике
Подготовьтесь к ЕГЭ на 80+ баллов. Смотрите видео, читайте теорию, занимайтесь на онлайн-тренажерах
design_arrow
За пять шагов

За пять шагов

Как известно, математики – достаточно ленивые люди, и именно поэтому и в алгебре, и в геометрии существуют задачи на нахождение изящных и минимальных путей решения задач. Неудивительно, что на стыке этих двух разделов математики, а именно – среди способов построения алгебраических выражений от длин двух отрезков, возникают такие же проблемы.


Далеко не в каждом случае понятно, как при помощи только циркуля и линейки без делений посчитать ответ, а некоторые выражения построить таким образом и вовсе невозможно. И если для того, чтобы посчитать sqrt(a^2+b^2), достаточно построить прямоугольный треугольник с соответствующими катетами a и b, то, например, с построением среднего геометрического двух чисел sqrt(ab) все уже не так просто. Но мы предлагаем вам построить отрезок такой длины с помощью всего пяти проведенных линий! Думаете, это невозможно?
1.jpg

На самом деле, чертеж выше является решающей подсказкой. Здесь треугольник ∆ABC – равнобедренный, а отрезок CD равен его основанию CB. Сможете найти на рисунке три отрезка, один из которых будет средним геометрическим двух других? Приглядитесь: ΔBCD подобен ΔABC, так как равны их углы при основаниях, а из подобия следует, что AB : CB = CB : BD. Таким образом, отрезок CB – как раз тот, который мы ищем.


Теперь этот факт можно использовать при построении. Чтобы не проводить лишние линии, начнем чертеж с уже данного отрезка a (обозначим его АВ). Итак, первый шаг и первая линия – окружность радиуса a, на которой будет лежать точка С. Второй отрезок b, или BD на нашем рисунке, располагается на первом, поэтому второй шаг и вторая линия построения – окружность радиуса b с центром в точке В – так мы получим точку D.

    2.jpg3.jpg

А теперь проведем такую же окружность с центром в точке D. Третья и вторая окружности позволяют нам провести серединный перпендикуляр к отрезку BD – и, по свойствам равнобедренного треугольника, вершина С будет лежать на этой прямой, а значит, может быть найдена, как пересечение перпендикуляра и первой окружности. Осталось провести последнюю, пятую линию. Точки B и C уже есть на чертеже, последний штрих – искомый отрезок!

4.jpg5.jpg